(Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι : (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό…
Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)
Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ…
Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι…
Παράγωγος της ln|x| (απόδειξη)
Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή (ΗΜ. 2008) Έστω η συνάρτηση Αν τότε Αν τότε οπότε, αν θέσουμε \begin{center} και \end{center} έχουμε y = lnu. Επομένως, Άρα,
Παράγωγος της α^x (απόδειξη)
Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,
Παράγωγος της α^x, με α πραγματικό αριθμό (απόδειξη)
Εστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,
Παράγωγος της εφx (απόδειξη)
Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, για κάθε έχουμε:
Παράγωγος της x^(-ν) (απόδειξη)
Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, για κάθε έχουμε : Είδαμε, όμως, σε προηγούμενη απόδειξη ότι για κάθε φυσικό Επομένως, αν τότε
Παράγωγος της c*f, όπου c σταθερά (απόδειξη)
Αν η συναρτήση είναι παραγωγίσιμη, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και ισχύει : Εστω συναρτήση παραγωγίσιμη. Ισχύει:
Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)
Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.