Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα – Απόδειξη

Posted on

Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει \eta \mu^2 \omega+\sigma u v^2 \omega=1

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ω ορίζονται και με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων.

 Αν σ’ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy πάρουμε το σημείο M(x, y) και  ορίσουμε  ρ την απόσταση του σημείου Μ από  την αρχή των αξόνων ισχύει (εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο θεώρημα)

\rho=\sqrt{x^2+y^2} ή

\rho^2=x^2+y^2

Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το \rho^2 τότε έχουμε:

\dfrac{\rho^2}{\rho^2}=\dfrac{x^2}{\rho^2}+\dfrac{y^2}{\rho^2} ή

\left(\dfrac{x}{\rho}\right)^2+\left(\dfrac{y}{\rho}\right)^2=1

Επειδή \hm \omega=\dfrac{y}{\rho} και  \syn \omega=\dfrac{x}{\rho} με την προυπόθεση ότι \syn \omega\neq 0 η ισότητα (1) γίνεται:

(\syn \omega)^2+(\eta \mu \omega)^2=1 ή

\eta \mu^2 \omega+\syn^2 \omega=1

 

 

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *