1.2 Πράξεις με μονώνυμα

Σημειώσεις Θεωρίας

Οι μεταβλητές ενός μονωνύμου αντιπροσωπεύουν αριθμούς και γι´ αυτό στις πράξεις που γίνονται μεταξύ μονωνύμων ισχύουν όλες οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν και στους αριθμούς.

Πρόσθεση μονωνύμων

Παράδειγμα: Να κάνετε την πράξη $5x^2y + 3x^2y$

Για να προσθέσουμε αυτά τα δύο μονώνυμα, παρατηρούμε ότι είναι όμοια, καθώς έχουν το ίδιο κύριο μέρος $x^2y$ . Αυτό μας επιτρέπει να προσθέσουμε τους συντελεστές τους.

Μπορούμε να ξαναγράψουμε την παράσταση ως εξής:

$5x^2y + 3x^2y = (5 + 3) \cdot x^2y = 8x^2y$

Αυτός ο τρόπος γραφής είναι ακριβώς μια εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας, η οποία δηλώνει ότι:

$\alpha(\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma$

Στην περίπτωση αυτή, το $x^2y$ είναι ο κοινός παράγοντας (όπως το $\alpha$ στην επιμεριστική ιδιότητα), και συνδυάζουμε τους συντελεστές 5 και 3 (το $\beta$ και το $\gamma$ ).

Παρατηρούμε ότι:

Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους.

Αν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο αλλά μια αλγεβρική παράσταση.

Πολλαπλασιασμός μονωνύμων

Μπορούμε να υπολογίσουμε ένα γινόμενο μονωνύμων με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού και των δυνάμεων.

Παράδειγμα: Να υπολογίσετε το γινόμενο $(2x^3y^2) \cdot (5x^2y^4)$

Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των όρων στον πολλαπλασιασμό (αντιμεταθετική ιδιότητα). Δηλαδή, χωρίζουμε τους αριθμητικούς συντελεστές (2 και 5) από τις μεταβλητές x και y, ομαδοποιώντας τους με βάση τη μεταβλητή. Αυτή γράφεται:

$(2 \cdot 5) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y^4)$

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού δυνάμεων με την ίδια βάση (θυμόμαστε ότι προσθέτουμε τους εκθέτες):

$10 \cdot x^{3+2} \cdot y^{2+4}=10x^5y^6$

Παρατηρούμε ότι:

Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με:

συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και
κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της.

Διαίρεση μονωνύμων

Η διαίρεση μονωνύμων βασίζεται κυρίως στην εφαρμογή των ιδιοτήτων των δυνάμεων και στη διαίρεση των συντελεστών τους.

Παράδειγμα: Να υπολογίσετε το πηλίκο: $\dfrac{6x^5y^3}{2x^2y}$

Αν διαχωρίσουμε το κλάσμα σε κλάσματα για τους αριθμητικούς συντελεστές και για τις ίδιες βάσεις των μεταβλητών, έχουμε:

$\dfrac{6x^5y^3}{2x^2y} = \dfrac{6}{2} \cdot \dfrac{x^5}{x^2} \cdot \dfrac{y^3}{y}$

Στη συνέχεια, μπορούμε να απλοποιήσουμε το κλάσμα των συντελεστών και να εφαρμόσουμε την ιδιότητα των δυνάμεων $\dfrac{\alpha^{\grm}}{\alpha^{\grn}} = \alpha^{\grm-\grn}$ .

$3 \cdot x^{5-2} \cdot y^{3-1} = 3x^3y^2$

Let’s Practise

Άσκηση 1. Να κάνετε τις πράξεις:

α. $5x^2 + 3x^2$
β. $7x^3 -4x^3$
γ. $2xy -5xy$
δ. $6x^2y + 9yx^2$
ε. $-8x^4 + 3x^4+x^4$
στ. $2x^2 + 5x^2 - x^2$
η. $4xy + 3yx -6xy$
θ. $-7x^2y + 5x^2y +2x^2y$
ι. $\dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x^2$
κ. $\sqrt{8}x^3 + \sqrt{32}x^3$

Τι παρατηρείται; Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο;

Άσκηση 2. Να υπολογίσετε τα γινόμενα:

α. $(3x^2y) \cdot (4x^3y^2)$
β. $(-5xy^3) \cdot (2x^2y)$
γ. $\left( \dfrac{1}{2}x^2y \right) \cdot \left( \dfrac{4}{3}x^3 \right)$
δ. $(7x^3) \cdot (-x^2y)$
ε. $\left(\dfrac{3}{4}x \right) \cdot \left( \dfrac{8}{5}xy^2 \right)$
στ. $(\sqrt{8}x^2y^3) \cdot \left( \sqrt{2}x^4 \right)$
ζ. $(-9x^3y^2) \cdot \left( \dfrac{2}{3}x^2y \right)$
η. $\left( \dfrac{2}{5}x^2y^3 \right) \cdot \left( -5x^3y \right)$
θ. $(\sqrt{48}x^2y) \cdot \left( -2 \sqrt{3}xy^2 \right)$
ι. $(-2x^4y) \cdot \left( \dfrac{1}{2}x^2y^2 \right)$

Τι παρατηρείται; Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο;

Άσκηση 3. Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

α. $\dfrac{8x^5y^3}{4x^2y}$

β. $\dfrac{15x^4y^2}{5x^2y^3}$

γ. $\dfrac{18x^6y^4}{6x^8y^2}$

δ. $\dfrac{-9x^5y}{3x^2}$

ε. $\dfrac{\dfrac{10}{3}x^7}{\dfrac{5}{6}x^3}$

στ. $\dfrac{21xy^3}{7x^3y}$

ζ. $\dfrac{16x^8y^2}{4x^4y^5}$

η. $\dfrac{-12x^9y^5}{6x^3y^2}$

θ. $\dfrac{\sqrt{20}x^4y^6}{\sqrt{5}x^2y^3}$

ι. $\dfrac{-30x^3y^4}{15x^2y^4}$

Τι παρατηρείται; Το πηλίκο μονωνύμων είναι μονώνυμο;

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες Υπάρχουν πολλές ταυτότητες στα μαθηματικά, αλλά ορισμένες εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να τις απομνημονεύσουμε. Αυτές τις αποκαλούμε αξιοσημείωτες ταυτότητες. Μία από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι το τετράγωνο αθροίσματος. Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου,…

Σημειώσεις Θεωρίας

Let’s Practise

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης