Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Πότε λέμε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα του πεδίου ορισμού της; (ΗΜ. 2013, ΗΜ. 2020, ΗΜ. 2023) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν…
Η f παραγωγίσιμη στο (α,β)
Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Πότε λέμε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα του πεδίου ορισμού της; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο .
Η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A. Πότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο A; Η f είναι παραγωγίσιμη στο A, ή απλά παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο .
Εφαπτομένη καμπύλης και συντελεστής διεύθυνσης
Ερώτηση Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης , στο σημείο ;Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της στο ; (ΗΜ. 2000) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο είναι η παράγωγος της στο . Δηλαδή, είναι Η εξίσωση της…
Παραγωγισιμότητα συνάρτησης σε σημείο
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση ${\color[HTML]{0693E3}f}$ είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${\color[HTML]{0693E3}x_0}$ του πεδίου ορισμού της; (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2009) Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, αν: Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της $f$ στο $x_0$ και συμβολίζεται με $f'(x_0)$. Δηλαδή: $$f'(x_0)=\lim\limits_{x…
1.2 Εξισώσεις Αδύνατες – Αόριστες
Στις εξισώσεις 1ου βαθμού, υπάρχουν δύο ειδικές περιπτώσεις που ξεχωρίζουν εύκολα αν τις γράψουμε στη μορφή: $$0x = \beta$$ 1η περίπτωση: Έχουμε: $0x = \beta$ με $\beta \neq 0$ Το αριστερό μέλος είναι πάντα 0, ενώ το δεξί είναι ένας μη μηδενικός αριθμός. Άρα παίρνουμε ψευδή πρόταση (π.χ. $0x = 5$). Μια τέτοια…
1.2 Αλγεβρικές παραστάσεις
Οι αριθμητικές και αλγεβρικές παραστάσεις είναι βασικές έννοιες που συναντάμε στα μαθηματικά. Ας δούμε πιο αναλυτικά τι σημαίνουν και πώς σχετίζονται με τις πράξεις και τη γεωμετρία. Αριθμητική ΠαράστασηΜια αριθμητική παράσταση είναι μια παράσταση που περιέχει αριθμούς και πράξεις μεταξύ τους. Για παράδειγμα, η παράσταση \[ 3 + 5 \times…
1.2 Αναγωγή Ομοίων Όρων: Απλοποιώντας τις Αλγεβρικές Παραστάσεις
Η αναγωγή ομοίων όρων είναι μια από τις βασικές διαδικασίες στα μαθηματικά που μας βοηθά να γράψαμε σε απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις. Η αναγωγή των όμοιων όρων βασίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα της άλγεβρας. Η επιμεριστική ιδιότητα ορίζει ότι: $$(\alpha + \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot \gamma +\beta \cdot \gamma$$…
Α.7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) – H ευθεία των ρητών – Τετμημένη σημείου
Οι αριθμοί που γνωρίσαμε, μέχρι τώρα, οι φυσικοί, οι δεκαδικοί και οι κλασματικοί, μπορούν να εκφράσουν τα φυσικά μεγέθη, όχι όμως και όλες τις ανθρώπινες δραστηριότητες και καταστάσεις. Έχεις σκεφτεί ποτέ πως οι αριθμοί μπορούν να δείξουν όχι μόνο πόσα έχεις, αλλά και πόσα σου λείπουν; Για παράδειγμα, σε ένα…
Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος (Σύνθετες εξισώσεις)
Άσκηση 1. Να λύσετε τα συστήματα: α) β) Άσκηση 2. Να λύσετε τα συστήματα: α) β) γ) δ) ε) στ)