Εκφωνήσεις αποδείξεων της Γ' Λυκείου

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $\textcolor{blue}{y=x}$ που διχοτομεί τις γωνίες $\textcolor{blue}{xOy}$ και $\textcolor{blue}{x'Oy'}$ .

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 2. Έστω το πολυώνυμο

$\textcolor{blue}{ P(x)=\alpha_{\grn}x^{\grn}+\gra_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\gra_{1}x+\gra_0}$ και $\textcolor{blue}{x_0\in\rr. }$

Nα αποδείξετε ότι $\textcolor{blue}{\orio{x}{x_0}{P(x)}=P(x_0) }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\textcolor{blue}{[\alpha,\, \beta]}$ . Αν:

η f είναι συνεχής στο $\textcolor{blue}{ [\alpha,\, \beta]}$ και
$\textcolor{blue}{ f(\alpha) \neq f(\beta)}$

τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των $\textcolor{blue}{ f(\alpha)}$ και $\textcolor{blue}{ f(\beta),}$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον $\textcolor{blue}{ x_{0} \in (\alpha, \beta), }$ τέτοιος ώστε $\textcolor{blue}{ f\left(x_0\right)=\eta}$ .

(ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $\textcolor{blue}{x_0, }$ τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

(ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 5. Εστω η σταθερή συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = c, c \in \rr. }$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'ʹ(x) = 0, }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(c)'=0 }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 6. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f(x) = x.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) = 1, }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(x)'=1 }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = x^{\grn}, v \in \mathbf{N}-\{0,1\} }$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) = \grn x^{\grn-1},}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{ (x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}}$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 8. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = \sqrt{x}.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{ (0, +\infty)}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις $\textcolor{blue}{ f, g}$ είναι παραγωγίσιμες στο $\textcolor{blue}{ x_0,}$ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f + g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{x_0 }$ και ισχύει:

$\textcolor{blue}{(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)}$

(ΗΜ. 2023)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 10. Αν η συναρτήση $\textcolor{blue}{f}$ είναι παραγωγίσιμη, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\textcolor{blue}{c \cdot f}$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει:

$\textcolor{blue}{(c \cdot f)'(x) =c \cdot f'(x)$ }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 11. Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x)=x^{-\grn}, \grn \in \mathbf{N}^*.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\mathbf{R}^*}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f^{\prime}(\mathbf{x})=-\grn \mathbf{x}^{-\grn-1}}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{\left(x^{-\grn}\right)^{\prime}=-\grn x^{-\grn-1} }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 12. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x) = \ef x.}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{R_1=\rr-\{x|\syn x=0\}}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f'(x) =\dfrac{1}{\syn^2 x}}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\ef x)'=\dfrac{1}{\syn^2 x}}$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 13. Εστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{ \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^\alpha, \alpha \in \mathbf{R}-\mathbf{Z}}$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{(0, +\infty)}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f'(x) =\alpha x^{\alpha-1} }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x)=\alpha^x, \alpha>0. }$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f }$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f^{\prime}(x)=\alpha^x \ln \alpha}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{\left(\alpha^{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=\alpha^{\mathrm{x}} \ln \alpha }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 15. Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x)=\ln |x|, x \in \mathbf{R}^* }$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr^*}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x} }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\ln |x|)^{\prime}=\dfrac{1}{x} }$

(ΗΜ. 2008)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η $\textcolor{blue}{f}$ είναι συνεχής στο Δ και $\textcolor{blue}{f '(x) = 0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η $\textcolor{blue}{f}$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

(ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις $\textcolor{blue}{f, g}$ ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι $\textcolor{blue}{ f, g}$ είναι συνεχείς στο Δ και $\textcolor{blue}{f'(x) = g'(x)}$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά $\textcolor{blue}{c }$ τέτοια, ώστε για κάθε $\textcolor{blue}{ x \in \Delta}$ να ισχύει:

$\textcolor{blue}{f(x) = g(x) + c }$

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f}$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και $\textcolor{blue}{ x_0}$ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η $\textcolor{blue}{ f}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\textcolor{blue}{x_0}$ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι:

$\textcolor{blue}{ f '(x_0) = 0}$

(ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{f }$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{(\alpha,\beta), }$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\textcolor{blue}{ x_0,}$ στο οποίο όμως η $\textcolor{blue}{f }$ είναι συνεχής.

Αν $\textcolor{blue}{ f'(x) > 0}$ στο $\textcolor{blue}{ (\alpha,x_0)}$ και $\textcolor{blue}{ f'(x) <0}$ στο $\textcolor{blue}{ (x_0,\beta),}$ τότε να αποδείξετε ότι το $\textcolor{blue}{ f(x_0)}$ είναι τοπικό μέγιστο της $\textcolor{blue}{ f}$ .

(ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f}$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{ (\alpha,\beta),}$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\textcolor{blue}{x_0, }$ στο οποίο όμως η $\textcolor{blue}{f }$ είναι συνεχής.

Aν η $\textcolor{blue}{f(x) }$ διατηρεί πρόσημο στο $\textcolor{blue}{(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta), }$ τότε να αποδείξετε ότι το $\textcolor{blue}{ f(x_0)}$ δεν είναι τοπικό ακρότατο και η $\textcolor{blue}{ f}$ είναι γνησίως μονότονη στο $\textcolor{blue}{(\alpha, \beta). }$

(ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής $\textcolor{blue}{ \mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}}$ είναι παράγουσες της f στο Δ.
κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή $\textcolor{blue}{\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R} }$ .

(ΗΜ. 2010, ΗΜ. 2022)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{ [\alpha,\beta]}$ . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο $\textcolor{blue}{[\alpha,\beta] }$ , τότε

$\textcolor{blue}{\int_a^\beta f(t) d t=G(\beta)-G(\alpha) }$

(ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013)

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.