Παράγωγος της ln|x| (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 15. Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x)=\ln |x|, x \in \mathbf{R}^* }$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr^*}$ και ισχύει $\textcolor{blue}{f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x} }$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{(\ln |x|)^{\prime}=\dfrac{1}{x} }$

(ΗΜ. 2008)

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\ln |x|, x \in \mathbf{R}^*$

Αν $x > 0,$ τότε $(\ln |x|)^{\prime}=(\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}$
Αν $x < 0,$ τότε $\ln |x| = \ln (−x),$ οπότε, αν θέσουμε \begin{center}

$y = ln(−x)$ και $u = −x,$ \end{center}

έχουμε y = lnu. Επομένως,

$y^{\prime}=(\ln u)^{\prime}=\dfrac{1}{u} \cdot u^{\prime}=\dfrac{1}{-x}(-1)=\dfrac{1}{x}$

Άρα,

$(\ln |x|)^{\prime}=\dfrac{1}{x}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης