Στο κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε τη διάταξη των πραγματικών αριθμών, δηλαδή πώς συγκρίνουμε τους αριθμούς μεταξύ τους και ποιες ιδιότητες προκύπτουν από αυτή τη σύγκριση. Η κατανόηση αυτών των εννοιών είναι βασική για την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά.
Κατηγορία: Α ΛΥΚΕΙΟΥ
2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους – Δυνάμεις (Θεωρία)
Σημειώσεις Θεωρίας Πως ορίζεται η δύναμη πραγματικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο; Αν α πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός, έχουμε ορίσει ότι: Επιπλέον, ισχύει ότι Στην περίπτωση που έχουμε: και Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο; Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με…
2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους – Αξιοσημείωτες Ταυτότητες (Θεωρία)
Σημειώσεις Θεωρίας Ποιες είναι οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες; Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. Οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι: Ποιες είναι οι βασικότερες μέθοδοι απόδειξης; Οι μέθοδοι απόδειξης είναι η εξής: Ευθεία απόδειξη Ξεκινάμε με την υπόθεση (η…
2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους – Πραγματικοί αριθμοί (Θεωρία)
Σημειώσεις Θεωρίας Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν (ή μπορούν να πάρουν) κλασματική μορφή, δηλαδή τη μορφή , όπου α, β ακέραιοι, με . Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός…
Nιοστός όρος αριθμητικής πρόοδου (απόδειξη)
Απόδειξη 9. Να αποδείξετε ότι ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά είναι . Αν σε μια αριθμητική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά της τότε ο αναδρομικός της τύπος μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε…
Γινόμενο ριζών εξίσωσης 2ου βαθμού (απόδειξη)
Απόδειξη 7. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού και ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το γινόμενο των ριζών P ισχύει η σχέση Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες της εξίσωσης. Αν με P συμβολίσουμε το γινόμενο έχουμε: δηλαδή δείξαμε ότι
Άθροισμα ριζών εξίσωσης 2ου βαθμού (απόδειξη)
Απόδειξη 6. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού και ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το άθροισμα των ριζών S ισχύει η σχέση Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες της εξίσωσης. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα έχουμε: δηλαδή δείξαμε ότι .
Νιοστή ρίζα του πηλίκου δύο αριθμών (Απόδειξη)
Απόδειξη 5. Nα αποδείξετε ότι για κάθε με και , ισχύει Έστω με και . Τότε που ισχύει.
Νιοστή ρίζα του γινόμενου δύο αριθμών (απόδειξη)
Απόδειξη 4. Nα αποδείξετε ότι για κάθε με , ισχύει Έστω με . που ισχύει. Παρατήρηση Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερους από δυο μη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει:
Aπόλυτη τιμή του αθροίσματος δυο αριθμών (απόδειξη)
Απόδειξη 3. Nα αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μη αρνητικοί αριθμοί έχουμε: που ισχύει. Παρατήρηση Είναι φανερό ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι…