Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η 
είναι συνεχής στο Δ και 
για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
(ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014)
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η 
είναι συνεχής στο Δ και 
για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ
Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε 
ισχύει 
Πράγματι,
- Αν
τότε προφανώς 
- Αν
τότε στο διάστημα ![[x_1,x_2]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f28ef437dfbdc87bf7690fc3d4f632eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Mέσης Tιμής.
Επομένως, υπάρχει 
τέτοιο, ώστε
![\[ f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} \quad (1)\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b577a2e437b793fe9b40607584e81f64_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει 
οπότε, λόγω της (1), είναι
![\[f(x_1) = f(x_2).\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e3a9772f606dfcc3bb478cb95f108e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Αν
τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι
Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι
