Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η $\textcolor{blue}{f}$ είναι συνεχής στο Δ και $\textcolor{blue}{f '(x) = 0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η $\textcolor{blue}{f}$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

(ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014)

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η $f$ είναι συνεχής στο Δ και $f '(x) = 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in Δ$ ισχύει $f(x_1) = f(x_2) .$

Πράγματι,

Αν $x_1 = x_2,$ τότε προφανώς $f(x_1) = f(x_2).$
Αν $x_1 < x_2,$ τότε στο διάστημα $[x_1,x_2]$ η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Mέσης Tιμής.

Επομένως, υπάρχει $\xi \in (x_1,x_2)$ τέτοιο, ώστε

$f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} \quad (1)$

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει $f '(\xi) = 0,$ οπότε, λόγω της (1), είναι

$f(x_1) = f(x_2).$

Αν $x_2 < x_1,$ τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι $f(x_1) = f(x_2).$

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι

$f(x_1) = f(x_2).$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…

Παράγωγος της εφx (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 12. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη. Πράγματι, για κάθε έχουμε:

Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης