Εκφωνήσεις αποδείξεων της Α’ Λυκείου

Απόδειξη 1. Nα αποδείξετε ότι για κάθε \textcolor{blue}{\alpha, \beta \in R}  ισχύει

    \[\textcolor{blue}{|\alpha \cdot \beta|=|\alpha| \cdot|\beta|}\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 2. Nα αποδείξετε ότι για κάθε \textcolor{blue}{\alpha\in R}  και  \textcolor{blue}{\beta \in R^{*}} ισχύει

    \[\textcolor{blue}{\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|=\dfrac{|\alpha|}{|\beta|}}\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 3. Nα αποδείξετε ότι για κάθε \textcolor{blue}{ \alpha, \beta \in R} ισχύει

    \[\textcolor{blue}{|\alpha+\beta| \leq|\alpha|+|\beta| }\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 4. Nα αποδείξετε ότι για κάθε \textcolor{blue}{\alpha, \beta \in R }   με \textcolor{blue}{ \alpha, \beta \geq 0},  ισχύει

    \[\textcolor{blue}{\sqrt[v]{\alpha} \cdot \sqrt[v]{\beta}=\sqrt[v]{\alpha \cdot \beta}}\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 5. Nα αποδείξετε ότι για κάθε \textcolor{blue}{\alpha, \beta \in R} με \textcolor{blue}{\alpha \geq 0} και \textcolor{blue}{\beta >0}, ισχύει

    \[\textcolor{blue}{\sqrt[\grn]{\dfrac{\alpha}{\beta}}=\dfrac{\sqrt[\grn]{\alpha}}{\sqrt[\grn]{\beta}}}\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 6. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού \textcolor{blue}{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0, \alpha \neq 0 }  και \textcolor{blue}{x_1, x_2 }  ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το άθροισμα των ριζών S ισχύει η σχέση

    \[\textcolor{blue}{S=x _1+ x _2=-\dfrac{\beta}{\alpha}}\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 7. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού \textcolor{blue}{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0, \alpha \neq 0} και \textcolor{blue}{x_1, x_2} ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι για το γινόμενο των ριζών P ισχύει η σχέση

    \[\textcolor{blue}{P=x _1\cdot x _2=\dfrac{\gamma}{\alpha}}\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 8. Έστω η εξίσωση 2ου βαθμού \textcolor{blue}{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0, \alpha \neq 0} και \textcolor{blue}{x_1, x_2 } ρίζες της εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  μετασχηματίζεται στη μορφή:

    \[\textcolor{blue}{x^2-S x+P=0}\]

όπου  S είναι το άθροισμα των ριζών και P είναι το γινόμενο τους. 

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 9. Να αποδείξετε ότι ο νιοστός  όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \textcolor{blue}{\alpha_1} και διαφορά \textcolor{blue}{\omeg } είναι

    \[\textcolor{blue}{ \alpha_\nu=\alpha_1+(\nu-1) \omega}\]

.

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.

Απόδειξη 10. Να αποδείξετε ότι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει

    \[\textcolor{blue}{ \beta=\frac{\alpha+\gamma}{2}}\]

Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη.