Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση 
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 
είναι παραγωγίσιμη στο 
και ισχύει 
δηλαδή
![\[\textcolor{blue}{\left(\alpha^{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=\alpha^{\mathrm{x}} \ln \alpha }\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d60557dcd95fac97c40a10919e33380_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Πράγματι, αν 
και θέσουμε 
τότε έχουμε 
Επομένως,
![\[y^{\prime}=\left(e^u\right)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}=e^{x \ln a} \cdot \ln \alpha=\alpha^x \ln \alpha .\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13ec2393673e52d734fe4f2784469cba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Related Posts
Θεώρημα τοπικών ακροτάτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)
Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν στο και στο τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα…
Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)
Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με…
Θεώρημα αρχικής συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής είναι παράγουσες της f στο Δ. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή . (ΗΜ. 2010, ΗΜ….