Παράγωγος της α^x (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x)=\alpha^x, \alpha>0. }$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f }$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f^{\prime}(x)=\alpha^x \ln \alpha}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{\left(\alpha^{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=\alpha^{\mathrm{x}} \ln \alpha }$

Πράγματι, αν $\mathrm{y}=\alpha^{\mathrm{x}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x} \ln \alpha}$ και θέσουμε $\mathrm{u}=\mathrm{x} \ln \alpha$ τότε έχουμε $y=e^u.$ Επομένως,