Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση 
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 
είναι παραγωγίσιμη στο 
και ισχύει 
δηλαδή
![\[\textcolor{blue}{\left(\alpha^{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=\alpha^{\mathrm{x}} \ln \alpha }\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5921e169e13759ff818ab0f35b7d95f3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Πράγματι, αν 
και θέσουμε 
τότε έχουμε 
Επομένως,
![\[y^{\prime}=\left(e^u\right)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}=e^{x \ln a} \cdot \ln \alpha=\alpha^x \ln \alpha .\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9cd6a964bad157d1af7c124111f8476_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράγωγος της x^v (απόδειξη)
Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή
Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)
Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Read More
Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)
Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με Αφού…