Παράγωγος της α^x (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f(x)=\alpha^x, \alpha>0. }$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\textcolor{blue}{f }$ είναι παραγωγίσιμη στο $\textcolor{blue}{\rr }$ και ισχύει $\textcolor{blue}{ f^{\prime}(x)=\alpha^x \ln \alpha}$ δηλαδή

$\textcolor{blue}{\left(\alpha^{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=\alpha^{\mathrm{x}} \ln \alpha }$

Πράγματι, αν $\mathrm{y}=\alpha^{\mathrm{x}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x} \ln \alpha}$ και θέσουμε $\mathrm{u}=\mathrm{x} \ln \alpha$ τότε έχουμε $y=e^u.$ Επομένως,

$y^{\prime}=\left(e^u\right)^{\prime}=e^u \cdot u^{\prime}=e^{x \ln a} \cdot \ln \alpha=\alpha^x \ln \alpha .$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…

Παράγωγος και συνέχεια συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. (ΗΜ. 2000, ΗΜ. 2003, ΗΜ. 2018) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο Τότε . Για έχουμε Άρα η f είναι συνεχής στο

Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης