Στην ενότητα «Οι φυσικοί αριθμοί» θα γνωρίσουμε τις βασικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών, θα μάθουμε πού τους χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή και θα διακρίνουμε τους άρτιους από τους περιττούς αριθμούς. Προσδοκώμενα Μαθησιακά Αποτελέσματα (ΠΜΑ) Ονομάζουμε φυσικούς αριθμούς τους αριθμούς $0,1,2,3,\ldots,100,101,\ldots$ Χρησιμοποιούμε τους φυσικούς αριθμούς για να εκφράσουμε: Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με…
Σύγκριση και διάταξη φυσικών αριθμών
Μπορούμε πάντα να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς και να αποφασίσουμε ποιος είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος. Για να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιούμε τα παρακάτω σύμβολα σύγκρισης: Σύμβολο Σημασία ίσος με | μικρότερος από μεγαλύτερος από Αν ένας φυσικός αριθμός βρίσκεται μετά από έναν άλλο στην ακολουθία των φυσικών αριθμών, τότε…
Μονοτονία και πρόσημο της παραγώγου
Θεώρημα 18. Έστω συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Έστω με . Θα δείξουμε ότι . Πράγματι, η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε Ισοδύναμα, Επειδή και προκύπτει ότι…
f παραγωγίσιμη στο [α,β]
Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Πότε λέμε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα του πεδίου ορισμού της; (ΗΜ. 2013, ΗΜ. 2020, ΗΜ. 2023) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν…
Η f παραγωγίσιμη στο (α,β)
Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Πότε λέμε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα του πεδίου ορισμού της; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο . Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο .
Η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A. Πότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο A; Η f είναι παραγωγίσιμη στο A, ή απλά παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο .
Εφαπτομένη καμπύλης και συντελεστής διεύθυνσης
Ερώτηση Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης , στο σημείο ;Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της στο ; (ΗΜ. 2000) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο είναι η παράγωγος της στο . Δηλαδή, είναι Η εξίσωση της…
Παραγωγισιμότητα συνάρτησης σε σημείο
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση ${\color[HTML]{0693E3}f}$ είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${\color[HTML]{0693E3}x_0}$ του πεδίου ορισμού της; (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2009) Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, αν: Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της $f$ στο $x_0$ και συμβολίζεται με $f'(x_0)$. Δηλαδή: $$f'(x_0)=\lim\limits_{x…
1.2 Εξισώσεις Αδύνατες – Αόριστες
Στις εξισώσεις 1ου βαθμού, υπάρχουν δύο ειδικές περιπτώσεις που ξεχωρίζουν εύκολα αν τις γράψουμε στη μορφή: $$0x = \beta$$ 1η περίπτωση: Έχουμε: $0x = \beta$ με $\beta \neq 0$ Το αριστερό μέλος είναι πάντα 0, ενώ το δεξί είναι ένας μη μηδενικός αριθμός. Άρα παίρνουμε ψευδή πρόταση (π.χ. $0x = 5$). Μια τέτοια…
1.2 Αλγεβρικές παραστάσεις
Οι αριθμητικές και αλγεβρικές παραστάσεις είναι βασικές έννοιες που συναντάμε στα μαθηματικά. Ας δούμε πιο αναλυτικά τι σημαίνουν και πώς σχετίζονται με τις πράξεις και τη γεωμετρία. Αριθμητική ΠαράστασηΜια αριθμητική παράσταση είναι μια παράσταση που περιέχει αριθμούς και πράξεις μεταξύ τους. Για παράδειγμα, η παράσταση \[ 3 + 5 \times…