Θεώρημα 18. Έστω συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Έστω με . Θα δείξουμε ότι . Πράγματι, η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε Ισοδύναμα, Επειδή και προκύπτει ότι…
Κατηγορία: ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)
Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , τότε (ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα και G είναι μια παράγουσα της f στο . Η…
Θεώρημα αρχικής συνάρτησης (απόδειξη)
Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής είναι παράγουσες της f στο Δ. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή . (ΗΜ. 2010, ΗΜ….
Θεώρημα τοπικού ακροτάτου – Γνησίως αύξουσα (απόδειξη)
Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Aν η διατηρεί πρόσημο στο τότε να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο (ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’…
Θεώρημα τοπικών ακροτάτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)
Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν στο και στο τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα…
Θεώρημα Fermat (απόδειξη)
Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι: (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα…
Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)
Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…
Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)
Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…
Παράγωγος της ln|x| (απόδειξη)
Θεώρημα 15. Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή (ΗΜ. 2008) Έστω η συνάρτηση Αν τότε Αν τότε οπότε, αν θέσουμε \begin{center} και \end{center} έχουμε y = lnu. Επομένως, Άρα,
Παράγωγος της α^x (απόδειξη)
Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,