Θεώρημα Fermat (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{ f}$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και $\textcolor{blue}{ x_0}$ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η $\textcolor{blue}{ f}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\textcolor{blue}{x_0}$ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι:

$\textcolor{blue}{ f '(x_0) = 0}$

(ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011)

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και $x_0$ ένα εσωτερικό σημείο του Δ.

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο $x_0$ τοπικό μέγιστο.

Επειδή το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η $f$ παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο, ώστε

$(x_0 - \delta , x_0 + \delta)\subseteq \Delta$ και $f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x \in (x_0 - \delta , x_0 +\delta) \quad (1)$

Επειδή, επιπλέον, η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0,$ ισχύει

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$

Επομένως,

αν $x\in (x_0 -\delta , x_0)$ τότε, λόγω της (1), θα είναι $\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \geq 0$ οπότε θα έχουμε
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \geq 0 \quad (2)$

αν $x\in (x_0 , x_0+\delta)$ τότε, λόγω της (1) , θα είναι $\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \leq 0$ οπότε θα έχουμε
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \leq 0 \quad (3)$