Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι:
(ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011)
Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ.
Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο.
Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε
και για κάθε
Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει
Επομένως,
- αν τότε, λόγω της (1), θα είναι οπότε θα έχουμε
- αν τότε, λόγω της (1) , θα είναι οπότε θα έχουμε
Έτσι, από τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε
Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.