Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις $\textcolor{blue}{f, g}$ ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι $\textcolor{blue}{ f, g}$ είναι συνεχείς στο Δ και $\textcolor{blue}{f'(x) = g'(x)}$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά $\textcolor{blue}{c }$ τέτοια, ώστε για κάθε $\textcolor{blue}{ x \in \Delta}$ να ισχύει:

$\textcolor{blue}{f(x) = g(x) + c }$

Έστω δυο συναρτήσεις $f, g$ ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι $f, g$ είναι συνεχείς στο Δ και $f'(x) = g'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

Η συνάρτηση $f - g$ είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο $x \in \Delta$ ισχύει

$(f -g)'(x) = f '(x) - g'(x) = 0.$

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση $f - g$ είναι σταθερή στο Δ.

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε $x \in \Delta$ να ισχύει $f(x) - g(x) = c,$ οπότε

$f(x) = g(x) + c$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης