Θεώρημα τοπικών ακροτάτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{f }$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{(\alpha,\beta), }$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\textcolor{blue}{ x_0,}$ στο οποίο όμως η $\textcolor{blue}{f }$ είναι συνεχής.

Αν $\textcolor{blue}{ f'(x) > 0}$ στο $\textcolor{blue}{ (\alpha,x_0)}$ και $\textcolor{blue}{ f'(x) <0}$ στο $\textcolor{blue}{ (x_0,\beta),}$ τότε να αποδείξετε ότι το $\textcolor{blue}{ f(x_0)}$ είναι τοπικό μέγιστο της $\textcolor{blue}{ f}$ .

(ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019)

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(\alpha,\beta),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής, με $f '(x) > 0$ στο $(\alpha, x_0)$ και $f'(x) < 0$ στο $(x_0 , \beta)$

Επειδή $f'(x) > 0$ για κάθε $x \in (\alpha, x_0)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_0,$ η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,x_0].$ Έτσι έχουμε

$f(x) \leq f(x_0)$ , για κάθε $x \in (\alpha, x_0]. \quad (1)$

Επειδή $f'(x) < 0$ για κάθε $x \in (x_0, \beta)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_0,$ η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[x_0,\beta).$ Έτσι έχουμε:

$f(x) \leq f(x_0)$ , για κάθε $x \in [x_0, \beta). \quad (2)$

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει:

$f(x) \leq f(x_0)$ , για κάθε $x \in (\alpha, \beta)$

που σημαίνει ότι το $f(x_0)$ είναι μέγιστο της $f$ στο $(\alpha,\beta)$ και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…

Θεώρημα Fermat (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι: (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης