Θεώρημα τοπικών ακροτάτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{f }$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{(\alpha,\beta), }$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\textcolor{blue}{ x_0,}$ στο οποίο όμως η $\textcolor{blue}{f }$ είναι συνεχής.

Αν $\textcolor{blue}{ f'(x) > 0}$ στο $\textcolor{blue}{ (\alpha,x_0)}$ και $\textcolor{blue}{ f'(x) <0}$ στο $\textcolor{blue}{ (x_0,\beta),}$ τότε να αποδείξετε ότι το $\textcolor{blue}{ f(x_0)}$ είναι τοπικό μέγιστο της $\textcolor{blue}{ f}$ .

(ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019)

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(\alpha,\beta),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής, με $f '(x) > 0$ στο $(\alpha, x_0)$ και $f'(x) < 0$ στο $(x_0 , \beta)$