Θεώρημα τοπικών ακροτάτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση $\textcolor{blue}{f }$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\textcolor{blue}{(\alpha,\beta), }$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\textcolor{blue}{ x_0,}$ στο οποίο όμως η $\textcolor{blue}{f }$ είναι συνεχής.

Αν $\textcolor{blue}{ f'(x) > 0}$ στο $\textcolor{blue}{ (\alpha,x_0)}$ και $\textcolor{blue}{ f'(x) <0}$ στο $\textcolor{blue}{ (x_0,\beta),}$ τότε να αποδείξετε ότι το $\textcolor{blue}{ f(x_0)}$ είναι τοπικό μέγιστο της $\textcolor{blue}{ f}$ .

(ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019)

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(\alpha,\beta),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής, με $f '(x) > 0$ στο $(\alpha, x_0)$ και $f'(x) < 0$ στο $(x_0 , \beta)$

Επειδή $f'(x) > 0$ για κάθε $x \in (\alpha, x_0)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_0,$ η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,x_0].$ Έτσι έχουμε

$f(x) \leq f(x_0)$ , για κάθε $x \in (\alpha, x_0]. \quad (1)$

Επειδή $f'(x) < 0$ για κάθε $x \in (x_0, \beta)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_0,$ η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[x_0,\beta).$ Έτσι έχουμε:

$f(x) \leq f(x_0)$ , για κάθε $x \in [x_0, \beta). \quad (2)$

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει:

$f(x) \leq f(x_0)$ , για κάθε $x \in (\alpha, \beta)$

που σημαίνει ότι το $f(x_0)$ είναι μέγιστο της $f$ στο $(\alpha,\beta)$ και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…

Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και . Έστω μια συνάρτηση επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της. Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις και των και στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα). Έστω τυχαίο σημείο της γραφικής…

Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 22. (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , τότε (ΗΜ. 2002, ΗΜ. 2013) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα και G είναι μια παράγουσα της f στο . Η…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης