1.1 Η εξίσωση αx + βy = γ (Θεωρία)

Σημειώσεις Θεωρίας

Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και τι ονομάζουμε λύση της;

Κάθε εξίσωση της μορφής:

$\alpha x + \beta y = \gamma$

λέγεται γραμμική εξίσωση. Αν $\alpha \neq 0$ ή $\beta \neq 0$ τότε η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή.
Λύση της εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ζεύγος πραγματικών $(x, y)$ που την επαληθεύει.

Απόδειξη

Να δείξετε ότι η γραμμική εξίσωση

$\alpha x + \beta y = \gamma$

με $\alpha \neq 0$ ή $\beta \neq 0$ παριστάνει ευθεία.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: Έστω $\beta \neq 0$ και $\alpha \neq 0$ . Τότε έχουμε:

$\alpha x + \beta y = \gamma \Leftrightarrow$

$\beta y = -\alpha x + \gamma \Leftrightarrow$

$y = -\dfrac{\alpha}{\beta}x + \dfrac{\gamma}{\beta}$

Aν συμβολίσουμε $\lambda = -\dfrac{\alpha}{\beta}$ και με $\kappa = \dfrac{\gamma}{\beta} \right)$ τότε η εξίσωση γράφεται $y= \lambda x +\kappa$ με $\lambda, \kappa$ πραγματικούς αριθμούς.

Η εξίσωση $y= \lambda x +\kappa$ παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο $(0, \kappa)$ . To $\lambda$ ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας.

Rendered by QuickLaTeX.com

Περίπτωση 2: Έστω $\beta \neq 0$ και $\alpha = 0$ . Τότε έχουμε:

$\alpha x + \beta y = \gamma \Leftrightarrow 0x + \beta y = \gamma \Leftrightarrow \beta y = \gamma \Leftrightarrow y = \dfrac{\gamma}{\beta}$

Aν συμβολίσζουμε $\kappa= \dfrac{\gamma}{\beta}$ τότε η εξίσωση γράφεται $y= \kappa$ με $\kappa$ πραγματικό αριθμό.

Αν $\kappa\neq 0,$ η εξίσωση $y = \kappa$ παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο $(0, \kappa)$ (βλ. σχήμα 1)
Ειδικότερα, αν $\kappa=0,$ η εξίσωση $y = \kappa$ γράφεται $y = 0$ και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας x΄x. (βλ. σχήμα 2)

Rendered by QuickLaTeX.com

(Σχήμα 1)

Rendered by QuickLaTeX.com

(Σχήμα 2)

Περίπτωση 3: Έστω $\beta = 0$ και $\alpha \neq 0$ . Τότε έχουμε:

$\alpha x + \beta y = \gamma \Leftrightarrow \alpha x = \gamma \Leftrightarrow x = \dfrac{\gamma}{\alpha}$

Aν συμβολίσζουμε $\kappa= \dfrac{\gamma}{\alpha}$ τότε η εξίσωση γράφεται $x= \kappa$ με $\kappa$ πραγματικό αριθμό.

Αν $\kappa\neq 0,$ η εξίσωση $x = \kappa$ παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα $y'y$ και τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $(\kappa,0)$ (βλ. σχήμα 1)
Αν $\kappa=0,$ η εξίσωση $x = \kappa$ γράφεται $x = 0$ και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας $y'y.$ (βλ. σχήμα 2)

Rendered by QuickLaTeX.com

(Σχήμα 1)

Rendered by QuickLaTeX.com

(Σχήμα 2)

Παρατήρηση: Η ευθεία $x = k$ δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

Βιβλιογραφία: Άλγεβρα Β’ Λυκείου, Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, Σ. Παπασταυρίδης, Γ. Πολύζος, Α. Σβερκος, Υπουργείο Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων

1. Συστήματα

Σημειώσεις Θεωρίας

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης