2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τετράγωνο με το μήκος της κάθε πλευράς είναι x. Αν γνωρίζουμε ότι τότε το εμβαδόν του είναι $16cm^2$ , πως θα υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του;

Για να βρούμε το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου από το εμβαδόν του, θα πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει το εμβαδόν. Δηλαδή, ψάχνουμε έναν αριθμό x που ικανοποιεί τη σχέση

$x^2 = 16$

Ο αριθμός είναι ο $x = 4$ αφού $4^2 = 4 \cdot 4 = 16.$

Επομένως, το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι $4 cm$

Το παραπάνω πρόβλημα μας οδηγεί να εισάγουμε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας.

Θεωρία

Τι είναι η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού;

Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α (συμβολίζεται με $\sqrt{\alpha}$ ) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό α.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι

$\sqrt{0} = 0,$ αφού $0^2 = 0.$
$\sqrt{1} = 1,$ αφού $1^2 = 1$ .

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα

$\sqrt{9}=3$ , επειδή $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$ .
$\sqrt{16}=4$ , επειδή $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$ .
$\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$ , επειδή $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 =\dfrac{3}{4}\cdot =\dfrac{3}{4} = =\dfrac{9}{16}$ .
$\sqrt{0,25}=0,5$ , επειδή $0,5^2 = 0.,5 \cdot 0,5 = 0,25$ .

Let’s Practise

Άσκηση 1

Υπολογίστε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες:

α) $\sqrt{25}$	στ) $\sqrt{100}$
β) $\sqrt{81}$	ζ) $\sqrt{225}$
γ) $\sqrt{36}$	η) $\sqrt{289}$
δ) $\sqrt{121}$	θ) $\sqrt{144}$
ε) $\sqrt{196}$	ι) $\sqrt{169}$

Άσκηση 2

Υπολογίστε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες:

α) $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$

β) $\sqrt{\dfrac{49}{100}}$

γ) $\sqrt{\dfrac{1}{4}}$

δ) $\sqrt{\dfrac{64}{9}}$

ε) $\sqrt{\dfrac{16}{25}}$

στ) $\sqrt{\dfrac{256}{625}}$

ζ) $\sqrt{\dfrac{144}{121}}$

Άσκηση 3

Υπολογίστε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες:

α) $\sqrt{0,01}$

β) $\sqrt{0,04}$

γ) $\sqrt{1,44}$

δ) $\sqrt{0,16}$

ε) $\sqrt{0,09}$

στ) $\sqrt{2,25}$

ζ) $\sqrt{0,0625}$

η) $\sqrt{0,0025}$

θ) $\sqrt{2,56}$

ι) $\sqrt{0,0144}$

κ) $\sqrt{0,0004}$

Θεωρία

Βασικές Ιδιότητες της Τετραγωνικής Ρίζας

Ιδιότητα 1: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός και αν υψώσουμε αυτόν τον αριθμό (την τετραγωνική ρίζα) στο τετράγωνο, θα πάρουμε τον αρχικό μας αριθμό. Δηλαδή,

Αν $\sqrt{\alpha}=x$ με $\alpha\geq0$ , τότε $x \geq 0$ και $x^2 =\alpha$ .

Πράγματι, αν α = 9, τότε η τετραγωνική του ρίζα είναι x = 3 (γιατί 3² = 9), και βλέπουμε ότι:

$\sqrt{\alpha} =x$ ( $\sqrt{9} = 3$ )
$x \geq 0$ ( $3 \geq 0$ )
$x^2 = \alpha$ ( $3^2 = 9$ )

Ιδιότητα 2: H τετραγωνική ρίζα είναι πάντα αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός

Αν $\alpha\geq0$ , τότε $\sqrt{\alpha}\geq0$ .

Ιδιότητα 3: Το τετράγωνο “έξω από τη ρίζα”. Αν $\alpha\geq0$ , τότε $\left(\sqrt{\alpha}\right)^2 =\alpha$ (το τετράγωνο και η ρίζα απλοποιούνται).

Πράγματι, για α = 9, η τετραγωνική ρίζα του 9 είναι 3 ( $\sqrt{9} = 3$ ).

Σύμφωνα με την Ιδιότητα 3, αν υψώσουμε την $\sqrt{9}$ στο τετράγωνο, θα πρέπει να πάρουμε το 9. Πράγματι,

$(\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9$

Από την παραπάνω ιδιότητα προκύπτει ότι $(\sqrt{176})^2 = 176$

Ιδιότητα 4: Το τετράγωνο “μέσα στη ρίζα”. Ισχύει $\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|$ (το τετράγωνο και η ρίζα απλοποιούνται, αλλά βάζουμε απόλυτη τιμή στο αποτέλεσμα).

Για παράδειγμα, ,

$\sqrt{(-5)^2} =\sqrt{25} =5=|-5|$

επομένως

$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$

Η ιδιότητα επαληθεύει τον ορισμό, δηλαδή ότι η τετραγωνική ρίζα ορίζεται ως ένας μη αρνητικός.

Let’s Practise

Άσκηση 4

Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

α) $\left(\sqrt{11}\right)^2$

β) $\left(\sqrt{8}\right)^2$

γ) $\left(\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)^2$ .

δ) $\sqrt{(-5)^2}$

ε) $\sqrt{\left(-\dfrac{12}{13}\right)^2}$

στ) $\sqrt{(-0.6)^2}$

ζ) $\sqrt{(-1)^{2024}}$

η) $\sqrt{-(-1)^{3}}$

Άσκηση 5

Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

A = \sqrt{\dfrac{-16}{-64}} + \sqrt{-\dfrac{25}{-100}} - \sqrt{(-2)^2}

B = \sqrt{(-5)^2} - \sqrt{\dfrac{49}{64}} + \dfrac{10}{\sqrt{81}} \cdot \sqrt{(-2015)^0}

Θεωρία

Ιδιότητα 5: (Γινόμενο Ριζών) Αν $\alpha, \beta \geq 0$ , τότε:
$\sqrt{\alpha \cdot \beta} = \sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta}$
Ιδιότητα 6: (Πηλίκο Ριζών) Αν $\alpha \qeq 0, \beta> 0$ , τότε:
$\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}} = \dfrac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}$