1.3 Πολυώνυμα - Ίσα πολυώνυμα

Σημειώσεις Θεωρίας

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα.

Για να είναι δύο πολυώνυμα ίσα, θα πρέπει οι αντίστοιχοι όροι τους (όροι με ίδιες δυνάμεις της μεταβλητής) να έχουν τους ίδιους συντελεστές. Αυτό μας οδηγεί στη σύγκριση των συντελεστών αυτών των όρων, κάτι που μπορεί να καταλήξει σε εξισώσεις πρώτου βαθμού για τις άγνωστες παραμέτρους.

Ας δούμε μια βασική άσκηση εύρεσης των τιμών άγνωστων παραμέτρων ώστε δύο πολυώνυμα να είναι ίσα.

Παράδειγμα. Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = 4x^2 - 8x + \alpha x^3 - 5.$ Αν το P(x) είναι ίσο με το πολυώνυμο $Q(x) = \beta x^2 + \gamma x + \delta,$ ποιες είναι οι τιμές των α, β, γ, δ;

Βήμα 1ο: Για να λύσουμε την άσκηση με σωστό τρόπο, το πρώτο βήμα είναι να γράψουμε τα δύο πολυώνυμα κατά φθίνουσα σειρά ως προς τις δυνάμεις του .

Το πολυώνυμο $P(x)$ δεν είναι γραμμένο κατά φθίνουσα σειρά ως προς το x. Tο αναδιατάσσουμε και έχουμε :

$P(x) = \alpha x^3 + 4x^2 - 8x - 5$

Το πολυώνυμο $Q(x)$ είναι ήδη γραμμένο κατά φθίνουσα σειρά ως προς τις δυνάμεις του x.

Bήμα 2ο: Σύγκριση των όμοιων όρων
- Σύγκριση των όρων με $x^3$

Στο πολυώνυμο $P(x)$ υπάρχει ο όρος $\alpha x^3$ , αλλά στο πολυώνυμο $Q(x)$ δεν υπάρχει όρος με $x^3$ . Για τα δύο πολυώνυμα να είναι ίσα, αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής $\alpha=0$

- Σύγκριση όρων με $x^2$

Ο όρος με κύριο μέρος $x^2$ στο $P(x)$ είναι $4x^2$ , ενώ στο $Q(x)$ είναι $\beta x^2$ . Συνεπώς, οι συντελεστές των όρων με $x^2$ πρέπει να είναι ίσοι, άρα: $\beta = 4$

- Σύγκριση όρων με x

Ο όρος με $x$ στο $P(x)$ είναι $-8x$ , ενώ στο $Q(x)$ είναι $\gamma x$ . Συνεπώς, οι συντελεστές των όρων με x πρέπει να είναι ίσοι, άρα: $\gamma = -8$

- Σύγκριση σταθερών όρων

Ο σταθερός όρος στο $P(x)$ είναι $-5$ , ενώ στο $Q(x)$ είναι $\delta$ . Συνεπώς, οι σταθεροί όροι πρέπει να είναι ίσοι, άρα: $\delta = -5$

Επομένως, οι τιμές των παραμέτρων είναι: $\alpha = 0, \, \beta = 4, \, \gamma = -8, \, \delta = -5$

Let’s Practise

Άσκηση 1

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = 3x^2 + 2\alpha x + 2$ και το πολυώνυμο $Q(x) = (\beta +1)x^2 + (\alpha - 4)x + 5$ . Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα, βρείτε τις τιμές των $\alpha$ και $\beta$ .

Άσκηση 2

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = (3\alpha - 2)x^2 - 3x + 7$ και το πολυώνυμο $Q(x) = (\gamma -2)x^3 + x^2 - 3x + (\beta + 1).$ Αν τα δύο πολυώνυμα είναι ίσα, βρείτε τις τιμές των $\alpha, \, \beta$ και $\gamma.$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.3 Πολυώνυμα – Ίσα πολυώνυμα

Σημειώσεις Θεωρίας

Let’s Practise

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Σημειώσεις Θεωρίας

Let’s Practise

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης