1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού (Εισαγωγή)

Εισαγωγή στις Εξισώσεις

Μια εξίσωση στα μαθηματικά είναι σαν ένας αγώνας ποδοσφαίρου, όπου οι δύο ομάδες σε έναν αγώνα για να είναι ισορροπημένος και δίκαιος θα πρέπει να υπάρχει το ίδιο πλήθος παικτών και στις δύο ομάδες. Όπως σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου, αν η μία ομάδα έχει 11 παίκτες και η άλλη επίσης 11, τότε ο αγώνας είναι ισορροπημένος και δίκαιος. Στη γλώσσα των μαθηματικών, αυτό εκφράζεται ως:

$A = B$

Αν αλλάξουμε κάτι σε μία από τις ομάδες, θα πρέπει να κάνουμε μια αντίστοιχη αλλαγή στην άλλη για να διατηρηθεί η ισορροπία. Αυτή είναι η βασική ιδέα πίσω από τις ισότητες.

Για παράδειγμα, στην παρακάτω εικόνα, βλέπουμε ότι η κόκκινη ομάδα έχει 7 παίκτες, ενώ η πράσινη ομάδα έχει 6. Για να είναι οι ομάδες ισοδύναμες, συμβολίζουμε με x τον παίκτη ή τους παίκτες που λείπουν από την πράσινη ομάδα.

Έτσι, προκύπτει η ισότητα

$x + 6 = 7$

που εκφράζει την ισότητα των δύο ομάδων όταν προστεθεί ο x παίκτης.

To γράμμα x, που στην προκειμένη περίπτωση παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό, λέγεται μεταβλητή, δηλαδή είναι ένα γράμμα (π.χ. x, y, t, …) που το χρησιμοποιούμεγια να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου.

Παρατηρούμε ότι στην παραπάνω ισότητα, υπάρχει ένα άννωστος, το x.

Η ισότητα αυτή, που περιέχει τον άγνωστο αριθμό x, ονομάζεται εξίσωση και επειδή η μεταβλητή x έχει εκθέτη 1, δηλαδή δεν εμφανίζεται υψωμένη σε καμία δύναμη μεγαλύτερη από το 1, πρόκειται για εξίσωση πρώτου βαθμού με μία μεταβλητή.

Η παράσταση $x + 6$ λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η παράσταση $7$ λέγεται δεύτερο μέλος αυτής.

Ειδικότερα, η παράσταση $x+6,$ oνομάζεται αλγεβρική παράσταση γιατί περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές. Γνωρίζουμε ήδη ότι μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς oνομάζεται αριθμητική παράσταση.

Στο παραπάνω παράδειγμα, αν $x=1,$ δηλαδή αν προσθέσουμε ένα παίκτη στην πράσινη ομάδα, τότε καταλήγουμε στην ισότητα

$1 + 6 = 7$

η οποία είναι αληθής.

Η τιμή που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή, ώστε η εξίσωση να είναι αληθής, δηλαδή τα δύο μέλη της να είναι ίσα, ονομάζεται λύση της εξίσωσης.

Επομένως, η τιμή x = 1 είναι λύση της εξίσωσης.

Αν όμως δοκιμάσουμε μια άλλη τιμή, για παράδειγμα x = 2, τότε καταλήγουμε στην ισότητα

$2 + 6 = 8$

η οποία δεν είναι αληθής, Άρα, η τιμή x = 2 δεν είναι λύση της εξίσωσης.

Προσθήκη ή Αφαίρεση του Ίδιου Όρου

Η ισορροπία ανάμεσα στις δύο ομάδες θα διατηρηθεί, αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό παικτών και στις δύο ομάδες.

Για παράδειγμα, αν προσθέσουμε 3 παίκτες και στις δύο ομάδες τότε η παραπάνω εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$x + 6 \textcolor{red}{+3} = 7 \textcolor{red}{+3}$

Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας (επομένως και εξίσωσης) προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Για παράδειγμα, αν αφαιρέσουμε 1 παίκτη και στις δύο ομάδες τότε η παραπάνω εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$x + 6 \textcolor{red}{-1} = 7 \textcolor{red}{-1}$

Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας (επομένως και εξίσωσης) αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Πολλαπλασιασμός ή Διαίρεση με τον Ίδιο Όρο

Η ισορροπία ανάμεσα στις δύο ομάδες θα διατηρηθεί αν αυξήσουμε τον αριθμό των παικτών πολλαπλασιάζοντας, ή αν μειώσουμε τον αριθμό διαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον ίδιο αριθμό.

Για παράδειγμα, αν τριπλασιάσουμε τους παίκτες και στις δύο ομάδες τότε η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\textcolor{red}{3}\cdot\left(x + 6\right) = \textcolor{red}{3}\cdot 7$

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας (επομένως και εξίσωσης) πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Τέλος, αν υποδιπλασιάσουμε τους παίκτες και στις δύο ομάδες τότε η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\dfrac{x + 6}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{7}{\textcolor{red}{2}}$

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας (επομένως και εξίσωσης) διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Σε επόμενο άρθρα θα δούμε τον τρόπο επίλυσης εξισώσεων.

Η επίλυση εξίσωσης είναι η διαδικασία εύρεσης της τιμής της μεταβλητής που καθιστά την εξίσωση αληθή. Στην ουσία, προσπαθούμε να απομονώσουμε τη μεταβλητή, ακολουθώντας μια σειρά από βήματα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες πράξεων στις ισότητες.

1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Προσθήκη ή Αφαίρεση του Ίδιου Όρου

Πολλαπλασιασμός ή Διαίρεση με τον Ίδιο Όρο

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης