2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους - Αξιοσημείωτες Ταυτότητες (Θεωρία)

Σημειώσεις Θεωρίας

Ποιες είναι οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες;

Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα.

Οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι:

$(\gra+\grb)^2=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2$
$(\gra-\grb)^2=\gra^2-2\gra\grb+\grb^2$
$(\gra+\grb)(\gra-\grb)=\gra^2-\grb^2$
$(\gra+\grb)^3=\gra^3+3\gra^2\grb+3\gra\grb^2+\grb^3$
$(\gra-\grb)^3=\gra^3-3\gra^2\grb+3\gra\grb^2-\grb^3$
$\gra^3+\grb^3=(\gra+\grb)(\gra^2-\gra\grb+\grb^2)$
$\gra^3-\grb^3=(\gra-\grb)(\gra^2+\gra\grb+\grb^2)$
$(\gra+\grb+\grg)^2=\gra^2+\grb^2+\grg^2+2\gra\grb+2\gra\grg+2\grb\grg$

Ποιες είναι οι βασικότερες μέθοδοι απόδειξης;

Οι μέθοδοι απόδειξης είναι η εξής:

Ευθεία απόδειξη

Ξεκινάμε με την υπόθεση (η οποία είναι αληθής) και με διαδοχικά βήματα (πράξεις ή σειρά λογικών (αληθών) προτάσεων) καταλήγουμε στο συμπέρασμα.

Να αποδείξετε ότι αν $\gra + \grb + \grg = 0,$ τότε $\gra^3 + \grb^3 + \grg^3 = 3\gra\grb\grg$

Επειδή α + β + γ = 0, είναι α = -(β + γ) (σχέση 1), οπότε θα έχουμε:

$\begin{align*} \gra &= -(\grb + \grg) \Leftrightarrow \\ \gra^3 &=\left[ -(\grb + \grg)\right]^3 \Leftrightarrow \\ \gra^3 &=-(\grb + \grg)^3 \Leftrightarrow \\ \gra^3 &=-(\grb^3 +3\grb^2\grg+3\grb\grg^2 \grg+\grg^3) \Leftrightarrow \\ \gra^3 &=-\grb^3 -3\grb^2\grg-3\grb\grg^2 \grg-\grg^3 \Leftrightarrow \\ \gra^3 +\grb^3 +\grg^3& =-3\grb^2\grg-3\grb\grg^2 \grg \Leftrightarrow \\ \gra^3 +\grb^3 +\grg^3& =-3\grb\grg(\grb+\grg) \stackrel{(1)}{\Longleftrightarrow}\\ \gra^3 +\grb^3 +\grg^3& =-3\grb\grg(-\gra) \Leftrightarrow\\ \gra^3 +\grb^3 +\grg^3& =3\gra\grb\grg \end{align*}$

Παραλλαγές της ευθείας απόδειξης

Αρχίζουμε από το ένα μέλος (αυτό που έχει τις περισσότερες παραστάσεις), κάνουμε τις πράξεις και καταλήγουμε στο άλλο μέλος.

Να αποδείξετε ότι $(\gra+\grb)^2=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2$

$\begin{align*} (\gra+\grb)^2&=(\gra+\grb)(\gra+\grb)\\ &=\gra^2+\gra\grb+\gra\grb+\grb^2\\ &=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2 \end{align*}$

Κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη συγχρόνως και με τη χρήση ισοδυναμιών καταλήγουμε σε μια ισότητα που προφανώς αληθεύει.

Να αποδείξετε ότι $(\gra^2 + \grb^2)(x^2 + y^2) = (\gra x + \grb y)^2 + (\gra y - \grb x)^2$

$\begin{align*} (\gra^2 + \grb^2)( x^2 + y^2) &= (\gra x + \grb y)^2 + (\gra y - \grb x)^2 \Leftrightarrow \\ \gra^2x^2 + \gra^2y^2 + \grb^2x^2 + \grb^2y^2& = \gra^2x^2 + 2\gra\grb x y + \grb^ 2y^2 + \gra^2y^2 - 2\gra\grb x y + \grb^2x^2 \Leftrightarrow \\ \gra^2x^2 + \gra^2y^2 + \grb^2x^2 + \grb^2y^2 &= \gra^2x^2 + \gra^2y^2 + \grb^2x^2 + \grb^2y^2, \text{ που ισχύει.} \end{align*}$

Λύνουμε την υπόθεση ως προς μια μεταβλητή και την αντικαθιστούμε στο ένα ή και στα δύο μέλη της ταυτότητας που θέλουμε να αποδείξουμε.

Αν ισχύει $\gra-\grb=3,$ να αποδείξετε ότι $3\gra-\grb^2-3\grb+2\gra\grb=\gra^2$

Επειδή $\gra-\grb=3,$ , είναι $\gra=\grb+3,$ (σχέση 1), οπότε θα έχουμε:

$\begin{align*} 3\gra-\grb^2-3\grb+2\gra\grb& \stackrel{(1)}{=} 3(\grb+3)-\grb^2-3\grb+2(\grb+3)\grb \\ &= 3\grb+9-\grb^2-3\grb+2\grb^2+6\grb \\ &= +9-\grb^2+2\grb^2+6\grb \\ &= \grb^2+6\grb+9 \\ &= (\grb+3)^2 \\ &= \gra^2 \end{align*}$

Aπαγωγή σε άτοπο

Yποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο.

Αν ο $\gra^2$ είναι άρτιος αριθμός, τότε να αποδείξετε ότι και ο $\gra$ είναι άρτιος αριθμός.

Έστω ότι ο α δεν είναι άρτιος. Τότε ο α θα είναι περιττός, δηλαδή θα έχει τη μορφή

α = 2κ + 1, όπου κ ακέραιος, οπότε θα έχουμε:

$\begin{align*} \gra^2&= ( 2\grk + 1)^2 \\ &= 4\grk^2 + 4\grk + 1\\ &= 2(2\grk^2 + 2\grk) + 1\\ &= 2\grl + 1 \text{ (όπου } \grl = 2\grk^2 + 2\grk). \end{align*}$

Δηλαδή $\gra^2 = 2\grl + 1,\quad \grl\in\zz,$ , που σημαίνει ότι ο $\gra^2$ είναι περιττός. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι ο $α^2$ είναι άρτιος. (άτοπο)

Επομένως, η παραδοχή ότι α δεν είναι άρτιος είναι λανθασμένη. Άρα ο α είναι άρτιος.

Με αντιπαράδειγμα

Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο ο συγκεκριμένος ισχυρισμός δεν ισχύει ή, όπως λέμε, αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα.

Να εξετάσετε αν για κάθε $\alpha > 0$ ισχύει $\gra^2 > \gra.$

Για $\gra=\dfrac{1}{2}>0$ έχουμε ότι $\gra^2=\dfrac{1}{4},$ δηλαδή $\gra^2<\gra$ άρα ο ισχυρισμός δεν ισχύει.

Βιβλιογραφία: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α´ τάξης Γενικού Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος,Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

2. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους – Αξιοσημείωτες Ταυτότητες (Θεωρία)

Σημειώσεις Θεωρίας

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης