2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών - Έννοια της διάταξης

Στο κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε τη διάταξη των πραγματικών αριθμών, δηλαδή πώς συγκρίνουμε τους αριθμούς μεταξύ τους και ποιες ιδιότητες προκύπτουν από αυτή τη σύγκριση. Η κατανόηση αυτών των εννοιών είναι βασική για την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά.

Θεωρία

Πότε ένας αριθμός $\textcolor[HTML]{000080}{\alpha}$ λέγεται μεγαλύτερος από έναν αριθμό $\textcolor[HTML]{000080}{\beta}$ ;

Ένας αριθμός $\alpha$ λέγεται μεγαλύτερος από έναν αριθμό $\beta$ , και γράφουμε $\alpha > \beta$ , όταν η διαφορά $\alpha - \beta$ είναι θετικός αριθμός.

Παράδειγμα:

Ο αριθμός $5$ είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό $2$ , γιατί $5 - 2 = 3$ , που είναι θετικός αριθμός.

Τι σημαίνει γεωμετρικά η ανισότητα $\textcolor[HTML]{000080}{\alpha > \beta}$ ;

Γεωμετρικά, η ανισότητα $\alpha > \beta$ σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, ο αριθμός $\alpha$ βρίσκεται δεξιότερα από τον αριθμό $\beta$ .

Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει αμέσως ότι:

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Παράδειγμα:

Στον άξονα των πραγματικών αριθμών, ο αριθμός $3$ βρίσκεται δεξιότερα από τον αριθμό $1$ , άρα $3 > 1$ .

Τι σημαίνει η έκφραση $\textcolor[HTML]{000080}{\alpha \geq \beta}$ ;

Η έκφραση $\alpha \geq \beta$ σημαίνει “ $\alpha$ μεγαλύτερος ή ίσος του $\beta$ “. Ισχύει όταν ο $\alpha$ είναι μεγαλύτερος από τον $\beta$ ή όταν οι δύο αριθμοί είναι ίσοι.

Παράδειγμα: $5 \geq 3$ (γιατί $5 > 3$ ) και $4 \geq 4$ (γιατί $4 = 4$ ).

Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων σχετικά με την πρόσθεση;

Αν $\alpha > \beta$ , τότε $\alpha + \gamma > \beta + \gamma$ για κάθε $\gamma$ .
Αν $\alpha > \beta$ και $\gamma > \delta$ , τότε $\alpha + \gamma > \beta + \delta$ .

Παράδειγμα:

Αν $5 > 2$ , τότε $5 + 3 > 2 + 3$ , δηλαδή $8 > 5$ .
Αν $7 > 3$ και $4 > 1$ , τότε $7 + 4 > 3 + 1$ , δηλαδή $11 > 4$ .

Ισχύει η ιδιότητα της πρόσθεσης ανισοτήτων και για την αφαίρεση;

Όχι, η ιδιότητα της πρόσθεσης ανισοτήτων δεν ισχύει για την αφαίρεση.

Παράδειγμα:

Ενώ $10 > 6$ και $7 > 2$ , η διαφορά $10 - 7 = 3$ είναι μικρότερη από τη διαφορά $6 - 2 = 4$ .

Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων σχετικά με τον πολλαπλασιασμό;

Ομόσημοι αριθμοί: Αν $\alpha$ και $\beta$ είναι ομόσημοι (και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί), τότε $\alpha \cdot \beta > 0$ .
Ετερόσημοι αριθμοί: Αν $\alpha$ και $\beta$ είναι ετερόσημοι (ο ένας θετικός και ο άλλος αρνητικός), τότε $\alpha \cdot \beta < 0$ .
Πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό: Αν $\alpha > \beta$ και $\gamma > 0$ , τότε $\alpha \cdot \gamma > \beta \cdot \gamma$ .
Πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό: Αν $\alpha > \beta$ και $\gamma < 0$ , τότε $\alpha \cdot \gamma< \beta \cdot \gamma$ .
Πολλαπλασιασμός ανισοτήτων με θετικούς όρους: Αν $\alpha > \beta$ και $\gamma > \delta$ , με $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ θετικούς αριθμούς, τότε $\alpha \cdot \gamma > \beta \cdot \delta$ .

Παράδειγμα:

$5$ και $2$ είναι ομόσημοι, άρα $5 \cdot 2 > 0$ , δηλαδή $10 > 0$ .
$5$ και $-2$ είναι ετερόσημοι, άρα $5 \cdot (-2) < 0$ , δηλαδή $-10 < 0$ .
Αν $5 > 2$ και $2 > 0$ , τότε $5 \cdot 2 > 2 \cdot 2$ , δηλαδή $10 > 4$ .
Αν $5 > 2$ και $-2 < 0$ , τότε $5 \cdot (-2) < 2 \cdot (-2)$ , δηλαδή $-10 < -4$ .
Αν $6 > 3$ και $4 > 2$ , τότε $6 \cdot 4 > 3 \cdot 2$ , δηλαδή $24 > 6$ .

Ισχύει η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ανισοτήτων και για τη διαίρεση;

Όχι, η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ανισοτήτων δεν ισχύει για τη διαίρεση.

Παράδειγμα:

Ενώ $24 > 10$ και $6 > 2$ , το πηλίκο $\dfrac{24}{6} = 4$ είναι μικρότερο από το πηλίκο $\dfrac{10}{2} = 5$ .

Ποια είναι η σχέση μεταξύ του τετραγώνου ενός πραγματικού αριθμού $\alpha$ και του 0;

Το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού $\alpha$ είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, δηλαδή $\alpha^2 \geq 0$ . Η ισότητα ισχύει μόνο όταν $\alpha = 0$ .