2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους – Πραγματικοί αριθμοί (Θεωρία)

• Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν (ή μπορούν να πάρουν) κλασματική μορφή, δηλαδή τη μορφή , όπου α, β ακέραιοι, με . Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός μπορεί να πάρει κλασματική μορφή.
• Οι αριθμοί που δεν μπορούν να πάρουν τη μορφή , όπου α, β ακέραιοι, με (ή, με άλλα λόγια, δεν μπορούν να γραφούν ούτε ως δεκαδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκαδικοί) λέγονται άρρητοι αριθμοί.

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών, δηλαδή μιας ευθείας όπου σε κάθε σημείο της οποίας αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός.

Για την πρόσθεση πραγματικών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόμενο πίνακα:

Ιδιότητα	Πρόσθεση
Αντιμεταθετική
Προσεταιριστική
Ουδέτερο Στοιχείο*
Αντίθετος Αριθμού

*Ο αριθμός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι προστιθέμενος σε οποιονδήποτε αριθμό δεν τον μεταβάλλει.

Για τον πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόμενο πίνακα:

Ιδιότητα	Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική
Προσεταιριστική
Ουδέτερο Στοιχείο*
Αντίστροφος Αριθμού	για

*Ο αριθμός 1 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, διότι οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με αυτόν δεν μεταβάλλεται.

Επίσης, για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα:

• Η αφαίρεση ορίζεται με τη βοήθεια της πρόσθεσης ως εξής:
  Δηλαδή για να βρούμε τη διαφορά α – β, προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου.
• Η διαίρεση ορίζεται με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού ως εξής:
  Δηλαδή για να βρούμε το πηλίκο , πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.