Σημείο τομής δύο ευθειών

Math How-To Guide

Δίνονται οι ευθείες $\textcolor{blue}{\epsilon_1: (\alpha+\beta)x-2y=12}$ και $\textcolor{blue}{\epsilon_2: x+(6\alpha+2\beta)y=-4}$

Η ευθεία $\textcolor{blue}{\epsilon_1}$ τέμνει τον άξονα $\textcolor{blue}{x'x}$ στο σημείο με τετμημένη 4, ενώ η ευθεία $\textcolor{blue}{\epsilon_2}$ τέμνει τον άξονα $\textcolor{blue}{y'y}$ στο σημείο με τεταγμένη -2.

α) Να βρείτε τους αριθμούς $\textcolor{blue}{\alpha}$ και $\textcolor{blue}{\beta}.$

β) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών $\textcolor{blue}{\epsilon_1}$ και $\textcolor{blue}{\epsilon_2}.$

Λύση

Γνωρίζουμε ότι όλα τα σημεία του άξονα $x'x$ έχουν τεταγμένη 0. Επομένω, η ευθεία $\epsilon_1$ τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο με τετμημένη 4, δηλαδή τον τέμνει στο σημείο Κ(4,0).

Εφόσον το σημείο Κ(4,0) ανήκει στην ευθεία $\epsilon_1$ , τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Επομένως,

$\begin{align*} (\alpha+\beta)x-2y&=12 \\ (\alpha+\beta)\cdot 4-2\cdot 0&=12 \\ 4(\alpha+\beta)&=12 \\ \dfrac{4(\alpha+\beta)}{4}&=\dfrac{12}{4} \\ \alpha+\beta&=3 \end{align*}$

H ευθεία $\epsilon_2$ τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο με τεταγμένη -2, δηλαδή στο σημείο Λ(0,-2), αφού όλα τα σημεία του άξονα $y'y$ έχουν τετμημένη 0.

Εφόσον το σημείο Λ(0,-2) ανήκει στην ευθεία $\epsilon_2$ , τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Επομένως,

$\begin{align*} x+(6\alpha+2\beta)y&=-4 \\ 0+(6\alpha+2\beta)\cdot (-2)&=-4 \\ -2(6\alpha+2\beta)&=-4 \\ \dfrac{-2(6\alpha+2\beta)}{-2}&=\dfrac{-4}{-2} \\ 6\alpha+2\beta&=2 \end{align*}$

Μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση διαιρώντας κάθε όρο με το 2. Δηλαδή

$\dfrac{6\alpha}{2}+\dfrac{2\beta}{2}=\dfrac{2}{2}$

$3\alpha+\beta=1$

Έχουμε καταλήξει στο σύστημα

$\left\{\begin{array}{l}\alpha+\beta=3\\3\alpha+\beta=1\end{array}\right.$

το οποίο μπορούμε να το λύσουμε με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών ή τη μέθοδο της αντικατάστασης. Μη βαριέσαι, λύστο…

Καταλήγουμε, λοιπόν, ότι $\alpha=-1$ και $\beta=4$ .

β) Για να λύσουμε το ερώτημα αυτό θα κάνουμε αντικατάσταση τις τιμές των α και β που βρήκαμε στο ερώτημα α στις εξισώσεις των ευθειών.

H $\gre_1$ γράφεται

$\begin{align*} (\alpha+\beta)x-2y&=12 \\ (-1+4)x-2y&=12 \\ 3x-2y=12 \end{align*}$

και η $\gre_2$ γράφεται

$\begin{align*} x+(6\alpha+2\beta)y&=-4 \\ x+(6\cdot(-1)+2\cdot 4)&y=-4 \\ x+2y&=-4 \end{align*}$

Το σημείο τομής των ευθειών $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ είναι η λύση του συστήματος

$\left\{\begin{array}{l}3x-2y=12\\x+2y=-4\end{array}\right.$

το οποίο …. έχει λύση το (x,y)=(2,-3), δηλαδή το οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ(2,-3).

Με τη βοήθεια του Geogebra, μπορούμε να δούμε και τη γραφική επίλυση του προβλήματος.

Σημειώσεις Θεωρίας

Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.

Let’s practice

Άσκηση 1. Να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών

ε₁ : 2x + 5y = 9 και ε₂ : x – y = 1.

Άσκηση 2. Av οι ευθείες ε₁ : (λ + μ)x + y = 7 καιε₂: x + (λ + 3μ)y = 1 τέμνονται στο σημείο Α(2, 1), να υπολογίσετε τις τιμές των λ και μ.

Άσκηση 3. Η ευθεία με εξίσωση αx + y = β διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(-3, -2). Να βρείτε τις τιμές των α, β.

Άσκηση 4. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(2, 3) και Β (4, 1).

Άσκηση 5. Δίνονται οι ευθείες

ε₁ : 2x – 3y = -14, ε₂ : x + y = -2 και

ε₃ : 3x – y = 14

α) Να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών ε1 και ε2.

β) Να εξετάσετε αν η ευθεία ε3 διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε2.

Άσκηση 6. Δίνονται οι ευθείες

$\epsilon_1: 3x-y=1$ και

$\epsilon_2: 5x+2y=9$

α) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθείων $\epsilon_1$ και $\epsilon_2.$

β) Αν η ευθεία

$\epsilon_3: (\alpha+1)^2x+(\alpha+4)y=3-\alpha$

διέρχεται από το σημείο τομής των $\epsilon_1$ και $\epsilon_2,$ να βρείτε τον αριθμό $\alpha.$

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Math How-To Guide

Λύση

Σημειώσεις Θεωρίας

Let’s practice

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης