Προβλήματα από τον πραγματικό κόσμο & γραμμικές εξισώσεις

Ένας γεωργός έχει στην φάρμα του κότες και πρόβατα.  Όλα τα ζώα είναι 22 ενώ τα πόδια τους συνολικά είναι 60. Πόσες είναι οι κότες  και πόσα τα πρόβατα; 

Λύση

Θα λύσουμε το πρόβλημα με τις κότες και τα πρόβατα με τη βοήθεια των… Μαθηματικών! Στο πρόβλημα έχουμε δύο άγνωστες μεταβλητές, έστω

• x: Ο αριθμός των κοτών
• y: Ο αριθμός των πρόβατων

Γνωρίζουμε ότι το σύνολο των ζώων είναι 22, οπότε έχουμε την εξίσωση:

Γνωρίζουμε επίσης ότι το σύνολο των ποδιών των ζώων είναι 60. Επειδή οι κότες έχουν 2 πόδια και τα πρόβατα 4, έχουμε την εξίσωση:

Λύνοντας… το σύστημα

καταλήγουμε ότι και , δηλαδή ο γεωργός έχει 14 κότες και 8 πρόβατα στη φάρμα του.

Για να λύσεις προβλήματα που οδηγούν σε γραμμικά συστήματα εξισώσεων, μπορείς να ακολουθήσεις τα εξής βήματα:

1. Καθορισμός Μεταβλητών: Αρχικά, ορίζεις τις μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τα άγνωστα στοιχεία του προβλήματος. Για παράδειγμα, αν έχεις ένα πρόβλημα με κότες και πρόβατα, οι μεταβλητές μπορεί να είναι $c$ για τις κότες και $s$ για τα πρόβατα.
2. Διατύπωση Εξισώσεων: Βασισμένος στις πληροφορίες που παρέχονται, σχηματίζεις εξισώσεις. Κάθε εξίσωση αντικατοπτρίζει μια σχέση μεταξύ των μεταβλητών βασισμένη στα δεδομένα του προβλήματος, όπως ο συνολικός αριθμός των ζώων ή ο συνολικός αριθμός των ποδιών.
3. Επίλυση του Συστήματος: Χρησιμοποιείς μεθόδους για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Αυτές περιλαμβάνουν:
   • Μέθοδος αντικατάστασης: Λύνεις μια εξίσωση ως προς μία μεταβλητή και αντικαθιστάς τη λύση στην άλλη εξίσωση.
   • Μέθοδος αντίθετων συντελεστών: Πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς τις εξισώσεις ώστε να καταστήσεις τους συντελεστές μιας μεταβλητής αντίθετους και κατόπιν  προσθέτεις τις εξισώσεις.
4. Έλεγχος Λύσης: Ελέγχεις τη λύση σου αντικαθιστώντας τις τιμές των μεταβλητών στις αρχικές εξισώσεις για να βεβαιωθείς ότι ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες του προβλήματος.
5. Ερμηνεία των Αποτελεσμάτων: Αφού βρεις τις λύσεις, τις ερμηνεύεις στο πλαίσιο του προβλήματος, εξασφαλίζοντας ότι έχουν λογική και ανταποκρίνονται στις φυσικές συνθήκες της πραγματικότητας.

Αυτή η διαδικασία είναι πολύ χρήσιμη στη μαθηματική μοντελοποίηση και στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων που απαιτούν την αναζήτηση σχέσεων μεταξύ διαφόρων μεταβλητών.

Άσκηση 1.  Σε μια έκθεση αυτοκινήτων υπάρχουν συνολικά 17 αυτοκίνητα τρίθυρα και πεντάθυρα. Αν όλα μαζί έχουν 67 πόρτες πόσα αυτοκίνητα με πέντε πόρτες και πόσα με τρεις πόρτες υπάρχουν στην έκθεση; (Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ Ε.Μ.Ε.)

Άσκηση 2. Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν 945 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες και εισπράχτηκαν 1810 €. Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2 € και ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,2 €, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσικλέτες.

Άσκηση 3. Σ’ ένα τηλεοπτικό παιχνίδι σε κάθε παίκτη υποβάλλονται 10 ερωτήσεις και για κάθε σωστή απάντηση προστίθενται βαθμοί, ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρούνται βαθμοί. Ένας παίκτης έδωσε 7 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 64 βαθμούς, ενώ ένας άλλος έδωσε 4 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 28 βαθμούς. Πόσους βαθμούς παίρνει ένας παίκτης για κάθε σωστή απάντηση και πόσοι βαθμοί τού αφαιρούνται για κάθε λανθασμένη απάντηση;

Άσκηση 4. Ένα ξενοδοχείο έχει συνολικά 20 δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα δωμάτια και πόσα τα τρίκλινα αν σε αυτά υπάρχουν συνολικά 48 κρεβάτια;

Άσκηση 5.  Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει 1,5 € και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4€. Τον αγώνα παρακολούθησαν 2200 άτομα και εισπράχτηκαν 5050 €. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα.