Α.7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

Σημειώσεις Θεωρίας 

Οι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί είναι οι δεκαδικοί αριθμοί που μετά από ένα ορισμένο σημείο επαναλαμβάνονται με έναν συγκεκριμένο τρόπο.

Το τμήμα των επαναλαμβανομένων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού ονομάζεται περίοδος. Ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός συμβολίζεται με μια γραμμή πάνω από τα ψηφία που επαναλαμβάνονται.

Υπάρχουν δύο τύποι:

1. Οι αριθμοί που η επανάληψη αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή.

Παράδειγμα:

2. Οι αριθμοί που μετά την υποδιαστολή υπάρχει ένα μη περιοδικό μέρος, και μετά αρχίζει η επαναλαμβανόμενη ακολουθία.

Παράδειγμα:

Συμπεραίνουμε ότι:

• ένας ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί με τη μορφή περιοδικού δεκαδικού αριθμού και
• κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλασματικού ρητού.

 Παρατήρηση: Ο λόγος για τον οποίο δεν είναι ρητός είναι ότι έχει μια ατελείωτη ακολουθία από ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται σε κανονικό μοτίβο. Ένας ρητός αριθμός είτε έχει πεπερασμένη δεκαδική αναπαράσταση είτε περιοδική δεκαδική ανάπτυξη.

Μεθοδολογία

Για να γράψουμε έναν περιοδικό δεκαδικό αριθμό σε μορφή ρητού (κλάσματος), ακολουθούμε μια συγκεκριμένη διαδικασία. Ας δούμε ένα παράδειγμα με τον περιοδικό αριθμό (δηλαδή ).

• Βήμα 1ο: Ονομάζουμε τον αριθμό :

     

• Βήμα 2ο: Πολλαπλασιάζουμε με δύναμη του 10 ώστε να μεταφέρουμε το δεκαδικό μέρος που περιέχει την περίοδο ακριβώς μετά την υποδιαστολή. Επειδή η περίοδος αποτελείται από 2 ψηφία, πολλαπλασιάζουμε με 100:

     

• Βήμα 3ο: Αφαιρούμε την αρχική εξίσωση από την καινούρια:

     

     

• Βήμα 4ο: Λύνουμε ως προς :

     

Άρα, ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός είναι ίσος με το κλάσμα .

Ας βελτιωθούμε

1. Βρες τη δεκαδική μορφή των ρητών:

α.

β.

γ.

2. Βρες την κλασματική μορφή των αριθμών:

α.  

β.

γ.

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Α Γυμνασίου (Ιωάννης Βανδουλάκης, Χαράλαμπος Καλλιγάς, Νικηφόρος Μαρκάκης, Σπύρος Φερεντίνος, Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές