Α.7.8. Iδιότητες δυνάμεων: Πολλαπλασιασμός δυνάμεων με την ίδια βάση

Σημειώσεις Θεωρίας

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση 7^3 \cdot 7^5

Κάνοντας χρήση του ορισμού της δύναμης ενός αριθμού, ορίζουμε ότι:

Για την παράσταση $7^3$ , αυτό σημαίνει:

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7$

Και για την παράσταση $7^5$ :

$7^5 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

Συνεπώς, ο πολλαπλασιασμός των δύο δυνάμεων γράφεται ως εξής:

$7^3 \cdot 7^5 = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7)$

Αυτό μας δίνει συνολικά 8 φορές τον αριθμό 7, δηλαδή:

$7^3 \cdot 7^5 = 7^{3+5} = 7^8$

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $(-4)^2 \cdot (-4)^3$

Κάνοντας χρήση του ορισμού της δύναμης ενός αριθμού, ορίζουμε ότι:

Για την παράσταση $(-4)^2$ , αυτό σημαίνει:

$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4)$

Και για την παράσταση $(-4)^3$ :

$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4)$

Συνεπώς, ο πολλαπλασιασμός των δύο δυνάμεων γράφεται ως εξής:

$(-4)^2 \cdot (-4)^3 = [(-4) \cdot (-4)] \cdot [(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)]$

Αυτό μας δίνει συνολικά 5 φορές τον αριθμό -4, δηλαδή:

$(-4)^2 \cdot (-4)^3 = (-4)^{2+3} = (-4)^5$

Από τα δύο παραδείγματα παρατηρούμε τα εξής:

Είχαμε παραστάσεις με γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση.
Στην παράσταση 7^3 \cdot 7^5, το αποτέλεσμα ήταν 7^8. Ο τελικός εκθέτης του αποτελέσματος είναι το 8, που προκύπτει από το άθροισμα των εκθετών της αρχικής παράστασης: 3 + 5 = 8.
Στην παράσταση (-4)^2 \cdot (-4)^3, το αποτέλεσμα ήταν (-4)^5. Ο τελικός εκθέτης του αποτελέσματος είναι το 5, που προκύπτει επίσης από το άθροισμα των εκθετών της αρχικής παράστασης: 2 + 3 = 5.

Γενικά ισχύει ότι: Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών.

$\gra^{\grm}\cdot\gra^{\grn}=\gra^{\grm+\grn}$

Ας εφαρμόσουμε την παραπάνω ιδιότητα σε δύο παραδείγματα.

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $5^4 \cdot 5^2\cdot 5$ .

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων με την ίδια βάση, προσθέτουμε τους εκθέτες:

$5^4 \cdot 5^2\cdot 5 = 5^{4+2+1} = 5^7$

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $(-3)^8 \cdot (-3)^5$ .

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων με την ίδια βάση, προσθέτουμε τους εκθέτες:

$(-3)^8 \cdot (-3)^5 = (-3)^{8+5} = (-3)^{13}$

Let’s Practise

Άσκηση 1. Χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες των δυνάμεων για να γράψτε με μορφή μιας δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις.

α. $2^3 \cdot 2^4$
β. $(-3)^5 \cdot (-3)^2$
γ. $5^6 \cdot 5^3$
δ. $(-7)^{2} \cdot (-7)^{3}$
ε. $4^2 \cdot 4^5$
στ. $(-2)^3 \cdot (-2)^6 \cdot (-2)$
ζ. $10 \cdot 10^7$
η. $(-5)^4 \cdot 5^{2}$
θ. $(-3) \cdot (-3)^{4}\cdot (-3)^{2}$
ι. $-(-6)^2 \cdot 6$