Η απόλυτη τιμή και οι αντίθετοι ρητοί αριθμοί αποτελούν βασικές έννοιες στα μαθηματικά, με πολλές εφαρμογές και σημαντική εκπαιδευτική αξία. Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτές τις έννοιες, θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα που θα μας βοηθήσει να τις ορίσουμε και να κατανοήσουμε την πρακτική τους χρήση.
Εφαρμογή
Βρείτε πόσες μονάδες απέχουν από την αρχή Ο του παρακάτω άξονα τα σημεία Α και Β.
Στον αριθμητικό άξονα, έχουμε δύο σημεία:
- Το σημείο Α, το οποίο βρίσκεται στο σημείο 3.
- Το σημείο Β, το οποίο βρίσκεται στο σημείο -2.
Η ερώτηση που θέτουμε είναι: Πόσο μακριά βρίσκονται αυτά τα σημεία από την αρχή O του αριθμητικού άξονα, δηλαδή το 0;
Ας κοιτάξουμε τον αριθμητικό άξονα και ας σκεφτούμε πώς μπορούμε να μετρήσουμε πόσο μακριά είναι κάθε σημείο από το 0.
- Για το σημείο A , ξεκινώντας από το 0, μετράμε πόσες μονάδες πρέπει να κινηθούμε για να φτάσουμε στο 3. Η απόσταση είναι 3 μονάδες.
- Για το σημείο B , ξεκινώντας από το 0, κινούμαστε προς τα αριστερά, φτάνοντας στο -2. Η απόσταση είναι 2 μονάδες.
Παρατηρούμε κάτι σημαντικό εδώ: η απόσταση μετράται πάντα θετικά, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση που κινούμαστε πάνω στον άξονα. Είτε κινούμαστε δεξιά (θετικοί αριθμοί), είτε αριστερά (αρνητικοί αριθμοί), η απόσταση είναι πάντα ένας θετικός αριθμός.
Αυτή η παρατήρηση αποτελεί τον βασικό πυρήνα της έννοιας της απόλυτης τιμής: όταν μιλάμε για απόσταση, δεν μας ενδιαφέρει αν κινούμαστε προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι πόσο μακριά είμαστε από το σημείο αναφοράς, δηλαδή το 0.
Σημειώσεις Θεωρίας
Η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α εκφράζει την απόσταση του σημείου με τετμημένη α από την αρχή Ο του άξονα και συμβολίζεται με 
.
Επομένως,
, αφού το σημείο με τετμημένη 3 απέχει 3 μονάδες από το 0.
, αφού το σημείο με τετμημένη -3 απέχει 3 μονάδες από το 0.
Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 3 και -3 έχουν την ίδια απόλυτη τιμή (δηλαδή απέχουν ίση απόσταση από το μηδέν), αλλά διαφέρουν ως προς το πρόσημο, δηλαδή είναι ετερόσημοι.
Δύο αριθμοί που είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή ονομάζονται αντίθετοι.
Για παράδειγμα, οι αριθμοί -4 και 4 είναι αντίθετοι.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:
- η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.
Για παράδειγμα, ισχύει 
.
- η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του.
Για παράδειγμα, ισχύει 
.
- η απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν (
).
Let’s Practise
1. Βρείτε την απόλυτη τιμή των παρακάτω αριθμών:
α. 
β. 
γ. 
δ. 
ε. 
2. Βρείτε τον αντίθετο των παρακάτω αριθμών:
α. Ο αντίθετος του 6
β. Ο αντίθετος του -8
γ. Ο αντίθετος του 0
δ. Ο αντίθετος του -15
ε. Ο αντίθετος του 20
3. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, βρίσκοντας την απόλυτη τιμή και τον αντίθετο αριθμό για κάθε τιμή:
| Αριθμός | Απόλυτη τιμή | Αντίθετος αριθμός |
|---|---|---|
| -9 | ||
| 5 | ||
| -14 | ||
| 2 | ||
| 0 |
4. Σχεδιάστε έναν αριθμητικό άξονα και σημειώστε τα παρακάτω σημεία:
α. Το σημείο με τετμημένη 4
β. Το σημείο με τετμημένη -7
γ. Το σημείο με τετμημένη 0
δ. Το σημείο με τετμημένη -3
ε. Το σημείο με τετμημένη 6
Έπειτα, βρείτε την απόσταση κάθε σημείου από το 0. Ποιο είναι το κοινό χαρακτηριστικό των σημείων με ίση απόσταση από το 0;
5. Βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς έχουν μεγαλύτερη απόλυτη τιμή:
α. 
ή 
β. 
ή 
γ. 
ή 
δ. 
ή 
ε. 
ή 
6. Λύστε τις παρακάτω εξισώσεις:
α. 
β. 
γ. 
δ. 
Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Α Γυμνασίου (Ιωάννης Βανδουλάκης, Χαράλαμπος Καλλιγάς, Νικηφόρος Μαρκάκης, Σπύρος Φερεντίνος, Υ.ΠΑΙ.Θ.)
Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές
