Α.7.5 Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

Ο πολλαπλασιασμός και η αριθμογραμμή

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια βασική πράξη που συναντάμε πολύ συχνά. Στην αρχή τον γνωρίζουμε ως «επαναλαμβανόμενη πρόσθεση».

Για παράδειγμα:

Όμως, τι γίνεται όταν μπαίνουν στο παιχνίδι οι αρνητικοί αριθμοί; Η αριθμογραμμή μάς βοηθά να το κατανοήσουμε καλύτερα.

---

Παράδειγμα 1: 

Σημαίνει «3 φορές το +2».

Στην αριθμογραμμή κινούμαστε 3 βήματα προς τα δεξιά, κάθε φορά κατά 2:

Άρα

---

Παράδειγμα 2:

Σημαίνει «3 φορές το -2».

Ξεκινώντας από το 0, κινούμαστε 3 βήματα προς τα αριστερά, κάθε φορά κατά 2:

Άρα

---

Παράδειγμα 3:

Εδώ το -3 δηλώνει ότι παίρνουμε το αντίθετο του .

Αφού , το αντίθετό του είναι:

👉 Άλλος τρόπος να το δούμε: κάνουμε 3 βήματα των 2 προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή αριστερά.

---

Παράδειγμα 4:

Ξεκινάμε από το .

Το αρνητικό μπροστά δηλώνει «πάρε το αντίθετο»:

$(-3) \cdot (-2) = +6

Οι Κανόνες των Προσήμων: Απαντώντας στις Βασικές Ερωτήσεις

Σημειώσεις Θεωρίας

Για να πολλαπλασιάσουμε ρητούς αριθμούς, αρκεί να ακολουθήσουμε μερικούς απλούς κανόνες σχετικά με τα πρόσημα.

• Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πάντα το πρόσημο «+».

+ · + = +  ή - · - = +

•  Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πάντα το πρόσημο «–».

+ · - = - ή  - · + = -

• Σημείωση: Αν έστω και ένας παράγοντας σε έναν πολλαπλασιασμό είναι μηδέν, τότε το γινόμενο ισούται με μηδέν.

Γιατί το Γινόμενο Δύο Αρνητικών Είναι Θετικό;

Ίσως αναρωτιέσαι γιατί το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών δίνει θετικό αποτέλεσμα. Όταν πολλαπλασιάζουμε, στην ουσία επαναλαμβάνουμε μια πρόσθεση ή μια αφαίρεση.

• Αν , σημαίνει «τρεις φορές αφαίρεση του 2».
• Αν όμως , τότε σημαίνει «αρνητικός αριθμός φορών». Δηλαδή το αντίθετο του .

Εφόσον , το αντίθετό του είναι +6.

Γι’ αυτό:

Αυτή η λογική συνέχεια μας δείχνει γιατί ο κανόνας - · - = + είναι μαθηματικά συνεπής.

Παραδείγματα για να Γίνουν Όλα Πιο Ξεκάθαρα

Ας δούμε τους κανόνες στην πράξη μέσα από μερικά απλά παραδείγματα.

1. Παράδειγμα 1: Πολλαπλασιασμός ετερόσημων (-1,4)· 5 = -(1,4·5) = -7 (Οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, άρα το αποτέλεσμα είναι αρνητικό).
2. Παράδειγμα 2: Πολλαπλασιασμός ομόσημων (-10) · (-0,7) = +(10 · 0,7) = +7 (Οι αριθμοί είναι ομόσημοι, άρα το αποτέλεσμα είναι θετικό).

Σημαντικές Παρατηρήσεις & Ιδιότητες που Πρέπει να Θυμάσαι

Ο πολλαπλασιασμός έχει κάποιες βασικές ιδιότητες που μας βοηθούν να κάνουμε τους υπολογισμούς μας ευκολότερους.

• Αντιμεταθετική ιδιότητα: α · β = β · α (Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των αριθμών).
• Προσεταιριστική ιδιότητα: α · (β · γ) = (α · β) · γ (Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς όπως μας βολεύει).
• Πολλαπλασιασμός με τη μονάδα: 1 · α = α · 1 = α (Οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 1, δίνει τον εαυτό του).
• Επιμεριστική ιδιότητα: α · (β + γ) = α · β + α · γ και α · (β - γ) = α · β - α · γ.
• Αντίστροφοι αριθμοί: α · β = 1 (όπου α, β διάφοροι του μηδενός). Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι αν το γινόμενό τους είναι 1. Σημαντικό είναι να θυμάσαι ότι το μηδέν δεν έχει αντίστροφο.
• Πολλαπλασιασμός με το μηδέν: 0 · α = α · 0 = 0 (Οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 0, δίνει 0).

Σημείωση για τη γραφή: Το σημείο του πολλαπλασιασμού « · » συχνά παραλείπεται όταν έχουμε γράμματα ή παρενθέσεις. Για παράδειγμα, το α · β γράφεται απλώς αβ και το 2 · (x+y) γράφεται 2(x+y).

Let’s Practise

Τώρα είναι η σειρά σου να δοκιμάσεις τις γνώσεις σου.

1. Συμπλήρωσε τα κενά:

(α) Το πρόσημο του γινομένου δύο ομόσημων ρητών είναι πάντα …………………… .

(β) Το πρόσημο του γινομένου δύο ετερόσημων ρητών είναι πάντα …………………… .

(γ) Ένας ρητός όταν πολλαπλασιάζεται με το 1 δεν …………………… .

(δ) Το γινόμενο δύο αντίστροφων αριθμών είναι πάντα ίσο με …………………… .

2. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα:

(α) (-1)(-1)

(β) -3(-10)

(γ) -1,2(-0,5)

(δ) 0(-10589)