Ο πολλαπλασιασμός και η αριθμογραμμή
Ο πολλαπλασιασμός είναι μια βασική πράξη που συναντάμε πολύ συχνά. Στην αρχή τον γνωρίζουμε ως «επαναλαμβανόμενη πρόσθεση».
Για παράδειγμα: 
Όμως, τι γίνεται όταν μπαίνουν στο παιχνίδι οι αρνητικοί αριθμοί; Η αριθμογραμμή μάς βοηθά να το κατανοήσουμε καλύτερα.
Παράδειγμα 1: 
Σημαίνει «3 φορές το +2».
Στην αριθμογραμμή κινούμαστε 3 βήματα προς τα δεξιά, κάθε φορά κατά 2:
Άρα 
Παράδειγμα 2: 
Σημαίνει «3 φορές το -2».
Ξεκινώντας από το 0, κινούμαστε 3 βήματα προς τα αριστερά, κάθε φορά κατά 2:
Άρα 
Παράδειγμα 3: 
Εδώ το -3 δηλώνει ότι παίρνουμε το αντίθετο του .
Αφού , το αντίθετό του είναι: 
👉 Άλλος τρόπος να το δούμε: κάνουμε 3 βήματα των 2 προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή αριστερά.
Παράδειγμα 4: 
Ξεκινάμε από το .
Το αρνητικό μπροστά δηλώνει «πάρε το αντίθετο»:
$(-3) \cdot (-2) = +6
Οι Κανόνες των Προσήμων: Απαντώντας στις Βασικές Ερωτήσεις
Σημειώσεις Θεωρίας
Για να πολλαπλασιάσουμε ρητούς αριθμούς, αρκεί να ακολουθήσουμε μερικούς απλούς κανόνες σχετικά με τα πρόσημα.
- Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πάντα το πρόσημο «+».
+ · + = + ή - · - = +
- Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πάντα το πρόσημο «–».
+ · - = - ή - · + = -
- Σημείωση: Αν έστω και ένας παράγοντας σε έναν πολλαπλασιασμό είναι μηδέν, τότε το γινόμενο ισούται με μηδέν.
Γιατί το Γινόμενο Δύο Αρνητικών Είναι Θετικό;
Ίσως αναρωτιέσαι γιατί το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών δίνει θετικό αποτέλεσμα. Όταν πολλαπλασιάζουμε, στην ουσία επαναλαμβάνουμε μια πρόσθεση ή μια αφαίρεση.
- Αν
, σημαίνει «τρεις φορές αφαίρεση του 2». - Αν όμως
, τότε σημαίνει «αρνητικός αριθμός φορών». Δηλαδή το αντίθετο του 
.
Εφόσον , το αντίθετό του είναι +6.
Γι’ αυτό:
Αυτή η λογική συνέχεια μας δείχνει γιατί ο κανόνας - · - = + είναι μαθηματικά συνεπής.
Παραδείγματα για να Γίνουν Όλα Πιο Ξεκάθαρα
Ας δούμε τους κανόνες στην πράξη μέσα από μερικά απλά παραδείγματα.
- Παράδειγμα 1: Πολλαπλασιασμός ετερόσημων
(-1,4)· 5 = -(1,4·5) = -7(Οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, άρα το αποτέλεσμα είναι αρνητικό). - Παράδειγμα 2: Πολλαπλασιασμός ομόσημων
(-10) · (-0,7) = +(10 · 0,7) = +7(Οι αριθμοί είναι ομόσημοι, άρα το αποτέλεσμα είναι θετικό).
Σημαντικές Παρατηρήσεις & Ιδιότητες που Πρέπει να Θυμάσαι
Ο πολλαπλασιασμός έχει κάποιες βασικές ιδιότητες που μας βοηθούν να κάνουμε τους υπολογισμούς μας ευκολότερους.
- Αντιμεταθετική ιδιότητα:
α · β = β · α(Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των αριθμών). - Προσεταιριστική ιδιότητα:
α · (β · γ) = (α · β) · γ(Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς όπως μας βολεύει). - Πολλαπλασιασμός με τη μονάδα:
1 · α = α · 1 = α(Οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 1, δίνει τον εαυτό του). - Επιμεριστική ιδιότητα:
α · (β + γ) = α · β + α · γκαια · (β - γ) = α · β - α · γ. - Αντίστροφοι αριθμοί:
α · β = 1(όπου α, β διάφοροι του μηδενός). Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι αν το γινόμενό τους είναι 1. Σημαντικό είναι να θυμάσαι ότι το μηδέν δεν έχει αντίστροφο. - Πολλαπλασιασμός με το μηδέν:
0 · α = α · 0 = 0(Οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 0, δίνει 0).
Σημείωση για τη γραφή: Το σημείο του πολλαπλασιασμού « · » συχνά παραλείπεται όταν έχουμε γράμματα ή παρενθέσεις. Για παράδειγμα, το α · β γράφεται απλώς αβ και το 2 · (x+y) γράφεται 2(x+y).
Let’s Practise
Τώρα είναι η σειρά σου να δοκιμάσεις τις γνώσεις σου.
1. Συμπλήρωσε τα κενά:
(α) Το πρόσημο του γινομένου δύο ομόσημων ρητών είναι πάντα …………………… .
(β) Το πρόσημο του γινομένου δύο ετερόσημων ρητών είναι πάντα …………………… .
(γ) Ένας ρητός όταν πολλαπλασιάζεται με το 1 δεν …………………… .
(δ) Το γινόμενο δύο αντίστροφων αριθμών είναι πάντα ίσο με …………………… .
2. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα:
(α) (-1)(-1)
(β) -3(-10)
(γ) -1,2(-0,5)
(δ) 0(-10589)
3. Να υπολογίσετε τα γινόμενα
4. Να υπολογίσετε τα γινόμενα
