Α1.1.Β Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Σημειώσεις Θεωρίας

Πως ορίζεται η δύναμη πραγματικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο;

Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν ≥ 2 συμβολίζεται με $\gra^{\grn}$ και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α. Δηλαδή,

Ορίζουμε ακόμη:

$\gra^1=\gra$
$\gra^0=1 \quad$ με $\gra\neq 0$
$\gra^{-\grn}=\dfrac{1}{\gra^{\grn}} \quad$ με $\gra\neq 0$

Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο;

Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται, είναι οι εξής:

$\gra^{\grk}\cdot\gra^{\grl}=\gra^{\grk+\grl}$
$\dfrac{\gra^{\grk}}{\gra^{\grl}}=\gra^{\grk-\grl}$
$(\gra\cdot\grb)^{\grk}=\gra^{\grk}\cdot\gra^{\grl}$
$\left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{\grk}=\dfrac{\gra^{\grk}}{\gra^{\grk}}$
$\left(\gra^{\grk}\right)^{\grl}=\gra^{\grk\cdot\grl}$
$\left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{-\grn}=\left(\dfrac{\grb}{\gra}\right)^{\grn}$

Παρατήρηση: H προτεραιότητα των πράξεων σε μια παράσταση είναι η εξής:

Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις.
Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.
Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω.

Let’s Practise

1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α. $\dfrac{(x^3 \cdot x^{-2})^4}{x^5 \cdot x^{-1}}$

β. $(y^2 \cdot y^3)^{3} \cdot y^{-5}$

γ. $\dfrac{(\alpha^4)^3 \cdot \alpha^{-2}}{(\alpha^2)^4}$

δ. $\dfrac{(\beta^5 \cdot \beta^{-2})^2}{(\beta^3 \cdot \beta^{-1})^3}$

ε. $\dfrac{x^{6} \cdot (x^{-2})^3}{x^5}$

στ. $(\alpha^3 \cdot \alpha^4)^{-2} \cdot \alpha^5$

ζ. $\dfrac{(y^2)^4 \cdot y^{-3}}{(y^{-2})^2}$

η. $(x^{-3} \cdot x^2)^4 \cdot x^{-6}$

θ. $\dfrac{(\beta^{-5})^2}{\beta^{-4} \cdot \beta^3}$

ι. $\dfrac{(\alpha^4 \cdot \alpha^{-2})^3}{\alpha^5 \cdot \alpha^{-7}}$

2. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α. $\dfrac{(x^2 \cdot y^3)^2}{x^3 \cdot y^5}$

β. $(x^3 \cdot y^{-2})^4 \cdot x^{-6}$

γ. $\dfrac{(x^5 \cdot y^4)^3}{x^4 \cdot (y^{-3})^2}$

δ. $\dfrac{(\alpha^3 \cdot \beta^{-1})^2}{\alpha^4 \cdot \beta^{-3}}$

ε. $(x^2 \cdot y^{-1})^3 \cdot \dfrac{x^5}{y^4}$

στ. $\dfrac{(\alpha^4 \cdot \beta^2)^5}{\alpha^3 \cdot \beta^6}$

ζ. $(x^{-3} \cdot y^5) \cdot \dfrac{(x^2)^3}{y^{-4}}$

η. $\dfrac{(\alpha^6 \cdot \beta^3)^2}{\alpha^{-5} \cdot \beta^2}$

θ. $(x^4 \cdot y^2)^{-3} \cdot (x^{-2} \cdot y)^2$

ι. $\dfrac{(\alpha^5 \cdot \beta^{-2})^4}{(\alpha^3 \cdot \beta^5)^2}$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Σημειώσεις Θεωρίας

Let’s Practise

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης