Α1.1.Β Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Posted on

Σημειώσεις Θεωρίας

Πως ορίζεται η δύναμη πραγματικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο;

Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν ≥ 2 συμβολίζεται με \gra^{\grn} και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α. Δηλαδή,

Ορίζουμε ακόμη:

  •  \gra^1=\gra
  • \gra^0=1 \quad με \gra\neq 0
  • \gra^{-\grn}=\dfrac{1}{\gra^{\grn}} \quad με \gra\neq 0

Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο;

Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται, είναι οι εξής:

  • \gra^{\grk}\cdot\gra^{\grl}=\gra^{\grk+\grl}
  • \dfrac{\gra^{\grk}}{\gra^{\grl}}=\gra^{\grk-\grl}
  •  (\gra\cdot\grb)^{\grk}=\gra^{\grk}\cdot\gra^{\grl}
  •  \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{\grk}=\dfrac{\gra^{\grk}}{\gra^{\grk}}
  •  \left(\gra^{\grk}\right)^{\grl}=\gra^{\grk\cdot\grl}
  • \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{-\grn}=\left(\dfrac{\grb}{\gra}\right)^{\grn}

 Παρατήρηση:  H προτεραιότητα των πράξεων σε μια παράσταση είναι η εξής:

  •  Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις.
  • Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.
  • Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω.

 

Let’s Practise

1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α. \dfrac{(x^3 \cdot x^{-2})^4}{x^5 \cdot x^{-1}}

β. (y^2 \cdot y^3)^{3} \cdot y^{-5}

γ. \dfrac{(\alpha^4)^3 \cdot \alpha^{-2}}{(\alpha^2)^4}

δ. \dfrac{(\beta^5 \cdot \beta^{-2})^2}{(\beta^3 \cdot \beta^{-1})^3}

ε. \dfrac{x^{6} \cdot (x^{-2})^3}{x^5}

στ. (\alpha^3 \cdot \alpha^4)^{-2} \cdot \alpha^5

ζ. \dfrac{(y^2)^4 \cdot y^{-3}}{(y^{-2})^2}

η. (x^{-3} \cdot x^2)^4 \cdot x^{-6}

θ. \dfrac{(\beta^{-5})^2}{\beta^{-4} \cdot \beta^3}

ι. \dfrac{(\alpha^4 \cdot \alpha^{-2})^3}{\alpha^5 \cdot \alpha^{-7}}

 

2. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α. \dfrac{(x^2 \cdot y^3)^2}{x^3 \cdot y^5}

β. (x^3 \cdot y^{-2})^4 \cdot x^{-6}

γ. \dfrac{(x^5 \cdot y^4)^3}{x^4 \cdot (y^{-3})^2}

δ. \dfrac{(\alpha^3 \cdot \beta^{-1})^2}{\alpha^4 \cdot \beta^{-3}}

ε. (x^2 \cdot y^{-1})^3 \cdot \dfrac{x^5}{y^4}

στ. \dfrac{(\alpha^4 \cdot \beta^2)^5}{\alpha^3 \cdot \beta^6}

ζ. (x^{-3} \cdot y^5) \cdot \dfrac{(x^2)^3}{y^{-4}}

η. \dfrac{(\alpha^6 \cdot \beta^3)^2}{\alpha^{-5} \cdot \beta^2}

θ. (x^4 \cdot y^2)^{-3} \cdot (x^{-2} \cdot y)^2

ι. \dfrac{(\alpha^5 \cdot \beta^{-2})^4}{(\alpha^3 \cdot \beta^5)^2}

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *