1.5 Τι είναι ταυτότητα;

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες

Η έννοια της ταυτότητας στα μαθηματικά είναι θεμελιώδης, καθώς καθορίζει ισότητες που ισχύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών. Στο άρθρο αυτό, θα εξετάσουμε τι είναι η μαθηματική ταυτότητα και θα αναλύσουμε παραδείγματα για την κατανόηση της.

Στην Άλγεβρα, συναντάμε ισότητες που περιέχουν μεταβλητές και αληθεύουν μόνο για ορισμένες τιμές των μεταβλητών τους. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Ισότητα με μία λύση

Σκεφτείτε την ισότητα $4x = 12$ . Αυτή αληθεύει όταν το $x$ είναι ίσο με 3, διότι $4 \cdot 3 = 12$ . Για καμία άλλη τιμή του $x$ δεν επαληθεύεται η ισότητα αυτή.

Ισότητα με πολλές λύσεις

Τώρα ας δούμε την ισότητα $x + y = 3$ . Αυτή αληθεύει για διάφορους συνδυασμούς τιμών των μεταβλητών $x$ και $y$ . Για παράδειγμα:

Αν $x = 1$ , τότε $y = 2$ .
Αν $x = -2$ , τότε $y = 5$ .

Ωστόσο, δεν αληθεύει για $x = 4$ και $y = 5$ .

Τα παραπάνω παραδείγματα μας δείχνουν ότι κάποιες ισότητες ισχύουν μόνο για συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών τους.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα ισοτήτων.

Αντιμεταθετική ιδιότητα στη πρόσθεση:

Aς δούμε την ισότητα $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ . Εδώ, η ισότητα ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των $\alpha$ και $\beta$ , καθώς η σειρά στην πρόσθεση δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.

Επιμεριστική ιδιότητα

Τέλος, ας δούμε την ισότητα $x(x + 2) = x^2 + 2x$ . Όποια τιμή κι αν δώσουμε στο $x$ , η ισότητα αυτή θα ισχύει, καθώς βασίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα.

Αναγωγή όμοιων όρων

Έχουμε την ισότητα $4 \alpha = 3 \alpha + \alpha$ . Και αυτή η ισότητα ισχύει για κάθε τιμή του $\alpha$ , αφού στηρίζεται στην πρόσθεση όμοιων μονωνύμων.

Θεωρία

Γενικά, ταυτότητα ονομάζεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

Οι ταυτότητες είναι πολύ χρήσιμες στα μαθηματικά, καθώς μας επιτρέπουν να αναδιατυπώνουμε εκφράσεις και να απλοποιούμε τους υπολογισμούς μας.

Συμπερασματικά, για να δείξουμε ότι μια ισότητα δεν είναι ταυτότητα, αρκεί να βρούμε μία τουλάχιστον τιμή των μεταβλητών της για την οποία η ισότητα δεν ισχύει.

Let’s Practise

Άσκηση 1

Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ταυτότητες;

α) $0x = 0$

β) $x + y = 0$

γ) $\alpha^2\alpha = \alpha^3$

δ) $\alpha\cdot\beta = 0$

Άσκηση 2

α)Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

$\alpha$	$\beta$	$\alpha + \beta$	$(\alpha + \beta)^2$	$\alpha^2$	$\beta^2$	$\alpha^2 + \beta^2$
1	0
0	1
1	1

β) να εξετάσετε αν η ισότητα $(\alpha + \beta)^2=\alpha^2 + \beta^2$ είναι ταυτότητα.

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Θεωρία

Let’s Practise

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης