1.5 Τετράγωνο διαφοράς

Posted on

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες

Η επόμενη αξιοσημείωτη ταυτότητα που θα δούμε είναι το τετράγωνο διαφοράς.

Τετράγωνο διαφοράς

Η ταυτότητα διατυπώνεται ως εξής:

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$

Απόδειξη της ταυτότητας

Ξεκινάμε με την έκφραση:

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha - \beta) \cdot (\alpha - \beta)$

Χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, έχουμε:

$= \alpha \cdot \alpha - \alpha \cdot \beta - \beta \cdot \alpha + \beta \cdot \beta$

Αυτό γίνεται:

$= \alpha^2 - \alpha\beta - \alpha\beta + \beta^2$

Οπότε, προκύπτει:

$= \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$

Έτσι, αποδείξαμε ότι:

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$

Εφαρμογή

Θέλουμε να αναπτύξουμε το τετράγωνο της παράστασης (3x – 4y)^2 χρησιμοποιώντας την ταυτότητα.

Βήμα 1: Προσδιορίζουμε τους όρους

Έχουμε ότι, $\alpha = 3x$ και $\beta = 4y$ .

Βήμα 2: Εφαρμόζουμε την ταυτότητα

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta - \beta^2$ και αντικαθιστούμε τα $\alpha$ και $\beta$ με τις τιμές τους:

$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2$

Βήμα 3: Υπολογίζουμε κάθε όρο ξεχωριστά. Δηλαδή,

$(3x)^2 = 9x^2$
$2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y = 24xy$
$(4y)^2 = 16y^2$

Βήμα 4: Συνθέτουμε τα αποτελέσματα

Κάνουμε αντικατάσταση τα παραπάνω για να προκύψει η αναπτυγμένη μορφή της παράστασης.

$(3x - 4y)^2 = 9x^2 -24xy + 16y^2$

Άσκηση 1

Να βρείτε τα αναπτύγματα:

$(\beta - 2)^2$
$(2x -5)^2$
$(3- 2y)^2$
$(5x -2y)^2$
$(3\alpha - 2\beta)^2$
$(\alpha^2 -2)^2$
$(y^2 - x^3)^2$
$(\sqrt{2x} - \sqrt{2})^2$
$(\sqrt{3} - x)^2$
$(2x^2 - \sqrt{x})^2$
$(\alpha^2 - \sqrt{2})^2$

Άσκηση 2

Να βρείτε τα αναπτύγματα:

$(-x+ 2)^2$
$(-2x +3y)^2$
$(-x- 2y)^2$
$(-2\alpha - 3\beta)^2$
$(-\alpha^2 -\beta^3)^2$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων – Αποδεικτικές ασκήσεις

Posted on

Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι το πολυώνυμο είναι ίσο με το πολυώνυμο Στις αποδεικτικές ασκήσεις με πολυώνυμα, συχνά καλούμαστε να αποδείξουμε ότι δύο πολυώνυμα είναι ίσα ή ότι μια πολυωνυμική έκφραση μπορεί να γραφεί σε διαφορετική μορφή. Αυτό προϋποθέτει εκτέλεση πράξεων όπως ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων, αφαίρεση ή πρόσθεση όρων για να φτάσουμε…

1.1.Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Posted on

Σημειώσεις Θεωρίας Πως ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x;; Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού x συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός α που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x. Για παράδειγμα, αφού Επίσης, ορίζουμε ότι Παρατήρηση: Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού…

1.1.Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Posted on

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης