1.5 Τετράγωνο διαφοράς

Posted on

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες

Η επόμενη αξιοσημείωτη ταυτότητα που θα δούμε είναι το τετράγωνο διαφοράς.

Τετράγωνο διαφοράς

Η ταυτότητα διατυπώνεται ως εξής:

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$

Απόδειξη της ταυτότητας

Ξεκινάμε με την έκφραση:

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha - \beta) \cdot (\alpha - \beta)$

Χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, έχουμε:

$= \alpha \cdot \alpha - \alpha \cdot \beta - \beta \cdot \alpha + \beta \cdot \beta$

Αυτό γίνεται:

$= \alpha^2 - \alpha\beta - \alpha\beta + \beta^2$

Οπότε, προκύπτει:

$= \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$

Έτσι, αποδείξαμε ότι:

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$

Εφαρμογή

Θέλουμε να αναπτύξουμε το τετράγωνο της παράστασης (3x – 4y)^2 χρησιμοποιώντας την ταυτότητα.

Βήμα 1: Προσδιορίζουμε τους όρους

Έχουμε ότι, $\alpha = 3x$ και $\beta = 4y$ .

Βήμα 2: Εφαρμόζουμε την ταυτότητα

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta - \beta^2$ και αντικαθιστούμε τα $\alpha$ και $\beta$ με τις τιμές τους:

$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2$

Βήμα 3: Υπολογίζουμε κάθε όρο ξεχωριστά. Δηλαδή,

$(3x)^2 = 9x^2$
$2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y = 24xy$
$(4y)^2 = 16y^2$

Βήμα 4: Συνθέτουμε τα αποτελέσματα

Κάνουμε αντικατάσταση τα παραπάνω για να προκύψει η αναπτυγμένη μορφή της παράστασης.

$(3x - 4y)^2 = 9x^2 -24xy + 16y^2$

Άσκηση 1

Να βρείτε τα αναπτύγματα:

$(\beta - 2)^2$
$(2x -5)^2$
$(3- 2y)^2$
$(5x -2y)^2$
$(3\alpha - 2\beta)^2$
$(\alpha^2 -2)^2$
$(y^2 - x^3)^2$
$(\sqrt{2x} - \sqrt{2})^2$
$(\sqrt{3} - x)^2$
$(2x^2 - \sqrt{x})^2$
$(\alpha^2 - \sqrt{2})^2$

Άσκηση 2

Να βρείτε τα αναπτύγματα:

$(-x+ 2)^2$
$(-2x +3y)^2$
$(-x- 2y)^2$
$(-2\alpha - 3\beta)^2$
$(-\alpha^2 -\beta^3)^2$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

Posted on

Ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στην επιμεριστική ιδιότητα, η οποία είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο της άλγεβρας. Η επιμεριστική ιδιότητα μας λέει ότι για οποιαδήποτε στοιχεία , , και , ισχύει η σχέση: Αυτή η ιδιότητα εφαρμόζεται στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων. Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο πολυώνυμα, εφαρμόζουμε την…

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

Posted on

1.3 Πολυώνυμα – Βαθμός πολυωνύμων

Posted on

Σημειώσεις Θεωρίας Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε, ότι το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά. Αν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο, αλλά μια αλγεβρική παράσταση που λέγεται πολυώνυμο. Για παράδειγμα, η αλγεβρική η παράσταση είναι πολυώνυμο ως άθροισμα μη όμοιων μονωνύμων….

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης