Α.7.8. Iδιότητες δυνάμεων: Πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση

Σημειώσεις Θεωρίας

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{8^5}{ 8^3}$

Κάνοντας χρήση του ορισμού της δύναμης ενός αριθμού, ορίζουμε ότι:

Για την παράσταση $8^5$ , αυτό σημαίνει:

$8^5 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$

Και για την παράσταση $8^3$ :

$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8$

Συνεπώς, το πηλίκο των δύο δυνάμεων γράφεται ως εξής:

$\dfrac{8^5}{8^3} = \dfrac{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}{8 \cdot 8 \cdot 8}$

και απλοποιώντας το κλάσμα έχουμε ότι

$\dfrac{8^5}{ 8^3}= \dfrac{\cancel{8} \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{8} \cdot 8 \cdot 8}{\cancel{8} \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{8}} = 8 \cdot 8$

Αυτό μας δίνει συνολικά 2 φορές τον αριθμό 8, δηλαδή:

$\dfrac{8^5}{ 8^3} = 8^{5-3} = 8^2$

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3}$

Κάνοντας χρήση του ορισμού της δύναμης ενός αριθμού, ορίζουμε ότι:

Για την παράσταση $(-5)^7$ , αυτό σημαίνει:

$(-5)^7 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5)$

Και για την παράσταση $(-5)^3$ :

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$

Συνεπώς, το πηλίκο των δύο δυνάμεων γράφεται ως εξής:

$\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3} = \dfrac{ (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5)}{ (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)}$

και απλοποιώντας το κλάσμα έχουμε ότι

$\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3} = \dfrac{\cancel{ (-5)} \cdot \cancel{ (-5)} \cdot \cancel{ (-5)} \cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5) \cdot (-5)}{\cancel{(-5)} \cdot \cancel{(-5)} \cdot \cancel{(-5)}} = (-5) \cdot (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)$

Αυτό μας δίνει συνολικά 4 φορές τον αριθμό (-5), δηλαδή:

$\dfrac{(-5)^7}{ (-5)^3} =(-5)^{7-3} = (-5)^4$

Από τα δύο παραδείγματα παρατηρούμε τα εξής:

Είχαμε παραστάσεις με πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση.
Στην παράσταση $\dfrac{8^5}{8^3}$ , το αποτέλεσμα ήταν $8^2$ . Ο τελικός εκθέτης του αποτελέσματος είναι το 2, που προκύπτει από τη διαφορά των εκθετών της αρχικής παράστασης: 5 -3 = 2.
Στην παράσταση $\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3}$ , το αποτέλεσμα ήταν $(-5)^4$ . Ο τελικός εκθέτης του αποτελέσματος είναι το 4, που προκύπτει επίσης από τη διαφορά των εκθετών της αρχικής παράστασης: 7 – 3 = 4.

Γενικά ισχύει ότι: Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου.

$\dfrac{\gra^{\grm}}{\gra^{\grn}}=\gra^{\grm-\grn}$

Ας εφαρμόσουμε την παραπάνω ιδιότητα σε δύο παραδείγματα.

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{7^{11}}{7^5}$

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων με την ίδια βάση, αφαιρούμε τους εκθέτες:

$\dfrac{7^{11}}{7^5}= 7^{11-5} = 7^6$

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{(-2)^6}{(-2)^3}$

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων με την ίδια βάση, αφαιρούμε τους εκθέτες:

$\dfrac{(-2)^6}{(-2)^3} = (-2)^{6-3} = (-2)^3$

Let’s Practise

Ασκηση 1. Χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες των δυνάμεων για να γράψτε με μορφή μιας δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις.

α. $\dfrac{3^4}{3^2}$
β. $\dfrac{(-2)^5}{(-2)^3}$
γ. $\dfrac{5^7}{5^2}$
δ. $\dfrac{7^3}{7}$
ε. $\dfrac{4^5}{4^3}$
στ. $\dfrac{(-3)^6}{(-3)^2}$
ζ. $\dfrac{10^4}{10}$
η. $\dfrac{(-5)^3}{-5}$
θ. $\dfrac{(-6)^2}{6}$
ι. $\dfrac{(-8)^5}{8^4}$