Α.7.8. Iδιότητες δυνάμεων: Πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση

Σημειώσεις Θεωρίας

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{8^5}{ 8^3}$

Κάνοντας χρήση του ορισμού της δύναμης ενός αριθμού, ορίζουμε ότι:

Για την παράσταση $8^5$ , αυτό σημαίνει:

$8^5 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$

Και για την παράσταση $8^3$ :

$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8$

Συνεπώς, το πηλίκο των δύο δυνάμεων γράφεται ως εξής:

$\dfrac{8^5}{8^3} = \dfrac{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}{8 \cdot 8 \cdot 8}$

και απλοποιώντας το κλάσμα έχουμε ότι

$\dfrac{8^5}{ 8^3}= \dfrac{\cancel{8} \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{8} \cdot 8 \cdot 8}{\cancel{8} \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{8}} = 8 \cdot 8$

Αυτό μας δίνει συνολικά 2 φορές τον αριθμό 8, δηλαδή:

$\dfrac{8^5}{ 8^3} = 8^{5-3} = 8^2$

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3}$

Κάνοντας χρήση του ορισμού της δύναμης ενός αριθμού, ορίζουμε ότι:

Για την παράσταση $(-5)^7$ , αυτό σημαίνει:

$(-5)^7 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5)$

Και για την παράσταση $(-5)^3$ :

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$

Συνεπώς, το πηλίκο των δύο δυνάμεων γράφεται ως εξής:

$\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3} = \dfrac{ (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5)}{ (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)}$

και απλοποιώντας το κλάσμα έχουμε ότι

$\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3} = \dfrac{\cancel{ (-5)} \cdot \cancel{ (-5)} \cdot \cancel{ (-5)} \cdot (-5) \cdot (-5)\cdot (-5) \cdot (-5)}{\cancel{(-5)} \cdot \cancel{(-5)} \cdot \cancel{(-5)}} = (-5) \cdot (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)$

Αυτό μας δίνει συνολικά 4 φορές τον αριθμό (-5), δηλαδή:

$\dfrac{(-5)^7}{ (-5)^3} =(-5)^{7-3} = (-5)^4$

Από τα δύο παραδείγματα παρατηρούμε τα εξής:

Είχαμε παραστάσεις με πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση.
Στην παράσταση $\dfrac{8^5}{8^3}$ , το αποτέλεσμα ήταν $8^2$ . Ο τελικός εκθέτης του αποτελέσματος είναι το 2, που προκύπτει από τη διαφορά των εκθετών της αρχικής παράστασης: 5 -3 = 2.
Στην παράσταση $\dfrac{(-5)^7}{(-5)^3}$ , το αποτέλεσμα ήταν $(-5)^4$ . Ο τελικός εκθέτης του αποτελέσματος είναι το 4, που προκύπτει επίσης από τη διαφορά των εκθετών της αρχικής παράστασης: 7 – 3 = 4.

Γενικά ισχύει ότι: Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου.

$\dfrac{\gra^{\grm}}{\gra^{\grn}}=\gra^{\grm-\grn}$

Ας εφαρμόσουμε την παραπάνω ιδιότητα σε δύο παραδείγματα.

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{7^{11}}{7^5}$

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων με την ίδια βάση, αφαιρούμε τους εκθέτες:

$\dfrac{7^{11}}{7^5}= 7^{11-5} = 7^6$

Παράδειγμα: Να γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης την παράσταση $\dfrac{(-2)^6}{(-2)^3}$

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων με την ίδια βάση, αφαιρούμε τους εκθέτες:

$\dfrac{(-2)^6}{(-2)^3} = (-2)^{6-3} = (-2)^3$

Let’s Practise

Ασκηση 1. Χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες των δυνάμεων για να γράψτε με μορφή μιας δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις.

α. $\dfrac{3^4}{3^2}$
β. $\dfrac{(-2)^5}{(-2)^3}$
γ. $\dfrac{5^7}{5^2}$
δ. $\dfrac{7^3}{7}$
ε. $\dfrac{4^5}{4^3}$
στ. $\dfrac{(-3)^6}{(-3)^2}$
ζ. $\dfrac{10^4}{10}$
η. $\dfrac{(-5)^3}{-5}$
θ. $\dfrac{(-6)^2}{6}$
ι. $\dfrac{(-8)^5}{8^4}$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Α Γυμνασίου (Ιωάννης Βανδουλάκης, Χαράλαμπος Καλλιγάς, Νικηφόρος Μαρκάκης, Σπύρος Φερεντίνος, Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

0. ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι αριθμητικές παραστάσεις είναι εκφράσεις αριθμών και μαθηματικών τελεστών (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και δυνάμεων). Για να εκτελούμε σωστά τις αριθμητικές παραστάσεις, είναι σημαντικό να ακολουθούμε τη σωστή προτεραιότητα των πράξεων. Η προτεραιότητα των πράξεων είναι η εξής: Δυνάμεις: Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση: Αυτές οι πράξεις εκτελούνται…

Σημειώσεις Θεωρίας

Let’s Practise

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης