1.3 Πολυώνυμα – Βαθμός πολυωνύμων

Σημειώσεις Θεωρίας

Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε, ότι το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά. Αν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο, αλλά μια αλγεβρική παράσταση που λέγεται πολυώνυμο.

Για παράδειγμα, η αλγεβρική  η παράσταση είναι πολυώνυμο ως άθροισμα μη όμοιων μονωνύμων.

Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυώνυμου.

• -3x ,
• 2x^2,
• 5  (ο σταθερός όρος, δηλαδή όρος χωρίς τη μεταβλητή  x ).

Το πολυώνυμο μπορεί να έχει πολλούς όρους. Ειδικότερα, ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται:

• Διώνυμο αν έχει δύο όρους. Παράδειγμα διωνύμου είναι το
• Τριώνυμο αν έχει τρεις όρους. Παράδειγμα τριωνύμου είναι το

Αν το πολυώνυμο έχει μία μεταβλητή, για παράδειγμα  την  x,  όπως το  πολυώνυμο  

μπορεί να συμβολιστεί για  συντομία ως P(x) ή Q(x) ή A(x) κ.τ.λ.

Δηλαδή, μπορούμε να το γράψουμε ως:

Βαθμός ενός πολυώνυμου

Ο βαθμός ενός πολυώνυμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο και λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικά, ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.

Παράδειγμα:  Το πολυώνυμο έχει:

• Βαθμό 2 ως προς τη μεταβλητή x, επειδή ο όρος με τη μεγαλύτερη δύναμη του x είναι το .
• Βαθμό 3 ως προς τη μεταβλητή y, επειδή ο όρος με τη μεγαλύτερη δύναμη του y είναι το .
• Βαθμό 4 ως προς τις μεταβλητές , επειδή ο όρος με το μεγαλύτερο βαθμό ως προς και είναι το .

Επίσης, το πολυώνυμο

είναι δευτέρου βαθμού ως προς   και μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του (ως προς  ).

Δηλαδή,

.

Γενικότερα, ένα πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί με τέτοιο τρόπο ώστε οι όροι του να ταξινομούνται κατά φθίνουσα σειρά βαθμών ως προς μία συγκεκριμένη μεταβλητή. Τότε, λέμε ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά φθίνουσα σειρά δυνάμεων αυτής της μεταβλητής.

Μεθοδολογία

Ταξινόμηση Πολυωνύμου κατά τις φθίνουσες δυνάμεις μεταβλητής

Άσκηση 1: 

Να γραφεί το πολυώνυμο  , με πραγματικό αριθμό,   κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του και να βρεθεί ο βαθμός του.

• Βήμα 1: Τακτοποίηση κατά τις Φθίνουσες Δυνάμεις

Για να γράψουμε το πολυώνυμο κατά φθίνουσα σειρά των δυνάμεων του , τοποθετούμε πρώτα τον όρο με τον μεγαλύτερο εκθέτη του και συνεχίζουμε προς τα κάτω. Το πολυώνυμο μας έχει τους όρους:

Άρα, το πολυώνυμο κατά φθίνουσα σειρά δυνάμεων του είναι:

• Βήμα 2: Εύρεση Βαθμού

Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης του στους όρους του.

Στο πολυώνυμο , ο όρος με τον μεγαλύτερο εκθέτη του είναι το , αν . Άρα, ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 3.

 Αν , το πολυώνυμο γίνεται: ( P(x) =  4x^2 – 8x – 5 \) και ο όρος με τον μεγαλύτερο εκθέτη του είναι το , Άρα, ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 2.

α.  

β.

γ.  

δ.  

ε.  

Άσκηση 2.

Να γραφεί το πολυώνυμο , με πραγματικό αριθμό, κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του και να βρεθεί ο βαθμός του.