1.10 Ε.Κ.Π. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Posted on

Θεωρία

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Παράδειγμα 1

Ας δούμε ένα παράδειγμα με δύο αλγεβρικές παραστάσεις:

$A(x) = 4x^2y^3z^2$

$B(x) = 6x^3y^2z^5$

Βήμα 1: Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Αναλύουμε τις αριθμητικές συντεταγμένες και τις μεταβλητές:

$4x^2y^3z^2 = 2^2 \cdot x^2 \cdot y^3 \cdot z^2$

$6x^3y^2z^5 = 2 \cdot 3 \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot z^5$

Βήμα 2: Επιλογή των κοινών και μη κοινών παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη

Για το 2: Παίρνουμε το μεγαλύτερο εκθέτη, δηλαδή $2^2$ .

Για το 3: Παίρνουμε $3^1$ , αφού εμφανίζεται μόνο στο δεύτερο.

Για το $x$ : Παίρνουμε το $x^3$ , γιατί ο μέγιστος εκθέτης είναι το 3.

Για το $y$ : Παίρνουμε το $y^3$ , γιατί ο μέγιστος εκθέτης είναι το 3.

Για το $z$ : Παίρνουμε το $z^5$ , γιατί ο μέγιστος εκθέτης είναι το 5.

Βήμα 3: Υπολογισμός του Ε.Κ.Π.

Ε.Κ.Π. = $2^2 \cdot 3^1 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^5$

$= 4 \cdot 3 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^5$

$= 12x^3y^3z^5$

Άρα, το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των $4x^2y^3z^2$ και $6x^3y^2z^5$ είναι:

$\mathbf{12x^3y^3z^5}$

Παράδειγμα 2

Ας βρούμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των πολυωνύμων:

$P_1(x) = 2x - 6$
$P_2(x) = 6x + 18$
$P_3(x) = 4x^2 - 36$

Βήμα 1: Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Αναλύουμε κάθε πολυώνυμο σε γινόμενο παραγόντων:

$P_1(x) = 2(x - 3)$
$P_2(x) = 6(x + 3) = 2 \cdot 3 (x + 3)$
$P_3(x) = 4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x - 3)(x + 3) = 2^2 (x - 3)(x + 3)$

Βήμα 2: Επιλογή των κοινών και μη κοινών παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη

Οι παράγοντες που εμφανίζονται είναι:

Για τους αριθμητικούς συντελεστές: Τα 2, 3 και 4. Το Ε.Κ.Π. των 2, 3 και ( 2^2 = 4 ) είναι το ( 2^2 \cdot 3 = 12 ).

Για τον παράγοντα ( (x – 3) ): Εμφανίζεται με μέγιστο εκθέτη 1.

Για τον παράγοντα ( (x + 3) ): Εμφανίζεται με μέγιστο εκθέτη 1.

Βήμα 3: Υπολογισμός του Ε.Κ.Π.
Ε.Κ.Π. $= 12 (x - 3)(x + 3)$

Let’s Practise

Άσκηση 1

Βρείτε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρακάτω αλγεβρικών παραστάσεων:

α) $P_1(x) = 3x - 9, \quad P_2(x) = 6x + 18$

β) $P_1(x) = 4x^2 - 12x, \quad P_2(x) = 6x - 18$

γ) $P_1(x) = x^2 - 9, \quad P_2(x) = x^2 - 6x + 9$

δ) $P_1(x) = 2x^2 - 8x, \quad P_2(x) = 3x - 12, \quad P_3(x) = 6x^2 - 24x$

ε) $P_1(x) = 5x - 10, \quad P_2(x) = 15x^2 - 30x$

στ) $P_1(x) = 2x^2 - 8, \quad P_2(x) = 4x^2 - 16x, \quad P_3(x) = 6x - 24$

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης