1.2 Επίλυση εξισώσεων α’ βαθμού - Εξισώσεις με κλάσματα

Λύση Εξίσωσης με τη Μέθοδο «Χιαστί»

Παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle \dfrac{2x+11}{3} = x

Στις εξισώσεις όπου εμφανίζεται ένα κλάσμα, μια από τις πιο άμεσες τεχνικές που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι η μέθοδος χιαστί. Η ιδέα βασίζεται στο ότι αντιμετωπίζουμε την εξίσωση σαν αναλογία, μετατρέποντας τον αριθμό στο δεξί μέλος σε κλάσμα με παρονομαστή το 1.

Βήμα 1ο. Μετατροπή σε αναλογία

Ξεκινάμε με την εξίσωση:

$\dfrac{2x+11}{3} = x$

Για να εφαρμόσουμε χιαστί, γράφουμε το x ως κλάσμα:

$\dfrac{2x+11}{3} = \dfrac{x}{1}$

Τώρα η εξίσωση είναι μια αναλογία δύο κλασμάτων.

Βήμα 2ο. Εφαρμογή της μεθόδου “χιαστί”

Πολλαπλασιάζουμε «διαγώνια»:

$(2x+11)\cdot 1 = 3 \cdot x$

Απλοποιούμε:

$2x + 11 = 3x$

Βήμα 3ο. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

Βάζουμε όλα τα x στο ίδιο μέλος. Αφαιρούμε 2x και από τα δύο μέλη:

$11 = 3x - 2x$

$x = 11$

Περιπτώσεις όπου και τα δύο μέλη είναι κλάσματα

Η μέθοδος χιαστί δεν αφορά μόνο εξισώσεις όπου το ένα μέλος είναι κλάσμα και το άλλο αριθμός. Εφαρμόζεται εξίσου εύκολα και στις εξισώσεις της μορφής:

$\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\gamma}{\delta}.$

Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση είναι ήδη αναλογία, οπότε η εφαρμογή χιαστί γίνεται απευθείας:

$\alpha\cdot \delta = \beta\cdot \gamma.$

Με αυτόν τον τρόπο δεν υπάρχουν πια παρονομαστές και η εξίσωση γίνεται πιο απλή, ώστε να τη λύσουμε με τις γνωστές πράξεις και τη μεταφορά όρων.

Λύση Εξίσωσης με Πολλαπλασιασμό με το ΕΚΠ.

Παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση $5 - \dfrac{x + 1}{3} = 2 + \dfrac{5x + 2}{6}$

Για να επιλύσουμε την εξίσωση θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:

Βήμα 1ο: Απαλοιφή παρονομαστών. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών. Το ΕΚΠ των αριθμών 3 και 6 είναι το 6.

$6 \cdot \left(5 - \dfrac{x + 1}{3}\right) = 6 \cdot \left(2 + \dfrac{5x + 2}{6}\right)$

Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα, η εξίσωση γίνεται:

$6 \cdot 5 - 6 \cdot \dfrac{x + 1}{3} = 6 \cdot 2 + (5x + 2)$

και απλοποιώντας τους παρονομαστές έχουμε ισοδύναμα:

$30 - 2(x + 1) = 12 + 5x + 2$

Βήμα 2ο: Απαλοιφή παρενθέσεων κάνοντας εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας.

$30 - 2x - 2 = 14 + 5x$

και απλοποιώντας έχουμε

$28 - 2x = 14 + 5x$

Βήμα 3ο: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

Για να λύσουμε την εξίσωση, μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν τον άγνωστο $x$ στο ένα μέλος και τους σταθερούς όρους στο άλλο μέλος. Θυμηθείτε ότι όταν ένας όρος μεταφέρεται από το ένα μέλος στο άλλο, το πρόσημό του αλλάζει.