1.5 Τετράγωνο αθροίσματος

Posted on

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες

Υπάρχουν πολλές ταυτότητες στα μαθηματικά, αλλά ορισμένες εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να τις απομνημονεύσουμε. Αυτές τις αποκαλούμε αξιοσημείωτες ταυτότητες.

Μία από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι το τετράγωνο αθροίσματος.

Τετράγωνο αθροίσματος

Η ταυτότητα διατυπώνεται ως εξής:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Απόδειξη της ταυτότητας

Ξεκινάμε με την έκφραση:

$(\alpha + \beta)^2 = (\alpha + \beta) \cdot (\alpha + \beta)$

Χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, έχουμε:

$= \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \beta \cdot \alpha + \beta \cdot \beta$

Αυτό γίνεται:

$= \alpha^2 + \alpha\beta + \alpha\beta + \beta^2$

Οπότε, προκύπτει:

$= \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Έτσι, αποδείξαμε ότι:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Εφαρμογή

Θέλουμε να αναπτύξουμε το τετράγωνο της παράστασης $(2x + 3y)^2$ χρησιμοποιώντας την ταυτότητα.

Βήμα 1: Προσδιορίζουμε τους όρους

Έχουμε ότι, $\alpha = 2x$ και $\beta = 3y$ .

Βήμα 2: Εφαρμόζουμε την ταυτότητα

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ και αντικαθιστούμε τα $\alpha$ και $\beta$ με τις τιμές τους:

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2$

Βήμα 3: Υπολογίζουμε κάθε όρο ξεχωριστά. Δηλαδή

$(2x)^2 = 4x^2$
$2 \cdot (2x) \cdot (3y) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y = 12xy$
$(3y)^2 = 9y^2$

Βήμα 4: Συνθέτουμε τα αποτελέσματα

Προσθέτουμε όλους τους όρους για να προκύψει η αναπτυγμένη μορφή της παράστασης.

$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Let’s Practise

Άσκηση 1

Να βρείτε τα αναπτύγματα:

1. $(\alpha + 5)^2$

2. $(3x + 2)^2$

3. $(7 + 2x)^2$

4. $(4x + 5y)^2$

5. $(6\alpha + 4\beta)^2$

6. $(\alpha^3 + 4)^2$

7. $(y^2 + 5z)^2$

8. $(\sqrt{x} + \sqrt{3})^2$

9. $(\sqrt{5} + 3x)^2$

10. $(x^2 + \sqrt{y})^2$

13. $(5x + \sqrt{2}y)^2$

11. $(2\alpha^3 + \sqrt{2})^2$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Πράξεις με μονώνυμα

Posted on

Σημειώσεις Θεωρίας Οι μεταβλητές ενός μονωνύμου αντιπροσωπεύουν αριθμούς και γι´ αυτό στις πράξεις που γίνονται μεταξύ μονωνύμων ισχύουν όλες οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν και στους αριθμούς. Πρόσθεση μονωνύμων Παράδειγμα: Να κάνετε την πράξη Για να προσθέσουμε αυτά τα δύο μονώνυμα, παρατηρούμε ότι είναι όμοια, καθώς έχουν το ίδιο…

1.6 Παραγοντοποίηση – Ομαδοποίηση

Posted on

Η παραγοντοποίηση με κοινό παράγοντα κατά ομάδες, γνωστή και ως ομαδοποίηση, εφαρμόζεται όταν δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους μιας παράστασης. Η μέθοδος βασίζεται στα εξής βήματα: Παράδειγμα: Για την παράσταση αx + αy + 2x + 2y, η παραγοντοποίηση με ομαδοποίηση γίνεται ως εξής: Σημαντικές Παρατηρήσεις:

1.2 Αριθμητικές και Αλγεβρικές Παραστάσεις

Posted on

Παράδειγμα 1 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με διαστάσεις 4 cm και 6 cm. Ο τύπος για το εμβαδόν είναι: Εμβαδόν = μήκος πλάτος Για να βρούμε το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου θα αντικαταστήσουμε τις διαστάσεις και θα πρέπει να υπολογίσουμε την παράσταση …

Τετράγωνο αθροίσματος

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης