1.5 Τετράγωνο αθροίσματος

Posted on

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες

Υπάρχουν πολλές ταυτότητες στα μαθηματικά, αλλά ορισμένες εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να τις απομνημονεύσουμε. Αυτές τις αποκαλούμε αξιοσημείωτες ταυτότητες.

Μία από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι το τετράγωνο αθροίσματος.

Τετράγωνο αθροίσματος

Η ταυτότητα διατυπώνεται ως εξής:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Απόδειξη της ταυτότητας

Ξεκινάμε με την έκφραση:

$(\alpha + \beta)^2 = (\alpha + \beta) \cdot (\alpha + \beta)$

Χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, έχουμε:

$= \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \beta \cdot \alpha + \beta \cdot \beta$

Αυτό γίνεται:

$= \alpha^2 + \alpha\beta + \alpha\beta + \beta^2$

Οπότε, προκύπτει:

$= \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Έτσι, αποδείξαμε ότι:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Εφαρμογή

Θέλουμε να αναπτύξουμε το τετράγωνο της παράστασης $(2x + 3y)^2$ χρησιμοποιώντας την ταυτότητα.

Βήμα 1: Προσδιορίζουμε τους όρους

Έχουμε ότι, $\alpha = 2x$ και $\beta = 3y$ .

Βήμα 2: Εφαρμόζουμε την ταυτότητα

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ και αντικαθιστούμε τα $\alpha$ και $\beta$ με τις τιμές τους:

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2$

Βήμα 3: Υπολογίζουμε κάθε όρο ξεχωριστά. Δηλαδή

$(2x)^2 = 4x^2$
$2 \cdot (2x) \cdot (3y) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y = 12xy$
$(3y)^2 = 9y^2$

Βήμα 4: Συνθέτουμε τα αποτελέσματα

Προσθέτουμε όλους τους όρους για να προκύψει η αναπτυγμένη μορφή της παράστασης.

$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Let’s Practise

Άσκηση 1

Να βρείτε τα αναπτύγματα:

1. $(\alpha + 5)^2$

2. $(3x + 2)^2$

3. $(7 + 2x)^2$

4. $(4x + 5y)^2$

5. $(6\alpha + 4\beta)^2$

6. $(\alpha^3 + 4)^2$

7. $(y^2 + 5z)^2$

8. $(\sqrt{x} + \sqrt{3})^2$

9. $(\sqrt{5} + 3x)^2$

10. $(x^2 + \sqrt{y})^2$

13. $(5x + \sqrt{2}y)^2$

11. $(2\alpha^3 + \sqrt{2})^2$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.6 Παραγοντοποίηση – Μέθοδος κοινού παράγοντα

Posted on

Η μέθοδος του κοινού παράγοντα στην παραγοντοποίηση βασίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα $$\alpha\cdot \beta +\alpha \cdot \gamma=\alpha\cdot (\beta +\gamma)$$ Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε αλγεβρικές παραστάσεις με σκοπό να απλοποιηθούν. Ο βασικός στόχος της είναι να βρεθεί ένας κοινός παράγοντας (αριθμός, μεταβλητή ή μονώνυμο) που να διαιρεί όλους τους όρους της…

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων – Αποδεικτικές ασκήσεις

Posted on

Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι το πολυώνυμο είναι ίσο με το πολυώνυμο Στις αποδεικτικές ασκήσεις με πολυώνυμα, συχνά καλούμαστε να αποδείξουμε ότι δύο πολυώνυμα είναι ίσα ή ότι μια πολυωνυμική έκφραση μπορεί να γραφεί σε διαφορετική μορφή. Αυτό προϋποθέτει εκτέλεση πράξεων όπως ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων, αφαίρεση ή πρόσθεση όρων για να φτάσουμε…

1.2 Μονώνυμα

Posted on

Σημειώσεις Θεωρίας Ένα μονώνυμο είναι μια ακέραια αλγεβρική παράσταση, επομένως οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί, όπου μεταξύ του αριθμητικού παράγοντα και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού. Συντελεστής και κύριο μέρος Στη βασική του μορφή, αποτελείται από έναν αριθμητικό παράγοντα, που ονομάζεται συντελεστής, και ένα…

Τετράγωνο αθροίσματος

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης