1.5 Τετράγωνο αθροίσματος

Posted on

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες

Υπάρχουν πολλές ταυτότητες στα μαθηματικά, αλλά ορισμένες εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να τις απομνημονεύσουμε. Αυτές τις αποκαλούμε αξιοσημείωτες ταυτότητες.

Μία από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι το τετράγωνο αθροίσματος.

Τετράγωνο αθροίσματος

Η ταυτότητα διατυπώνεται ως εξής:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Απόδειξη της ταυτότητας

Ξεκινάμε με την έκφραση:

$(\alpha + \beta)^2 = (\alpha + \beta) \cdot (\alpha + \beta)$

Χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, έχουμε:

$= \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \beta \cdot \alpha + \beta \cdot \beta$

Αυτό γίνεται:

$= \alpha^2 + \alpha\beta + \alpha\beta + \beta^2$

Οπότε, προκύπτει:

$= \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Έτσι, αποδείξαμε ότι:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Εφαρμογή

Θέλουμε να αναπτύξουμε το τετράγωνο της παράστασης $(2x + 3y)^2$ χρησιμοποιώντας την ταυτότητα.

Βήμα 1: Προσδιορίζουμε τους όρους

Έχουμε ότι, $\alpha = 2x$ και $\beta = 3y$ .

Βήμα 2: Εφαρμόζουμε την ταυτότητα

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ και αντικαθιστούμε τα $\alpha$ και $\beta$ με τις τιμές τους:

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2$

Βήμα 3: Υπολογίζουμε κάθε όρο ξεχωριστά. Δηλαδή

$(2x)^2 = 4x^2$
$2 \cdot (2x) \cdot (3y) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y = 12xy$
$(3y)^2 = 9y^2$

Βήμα 4: Συνθέτουμε τα αποτελέσματα

Προσθέτουμε όλους τους όρους για να προκύψει η αναπτυγμένη μορφή της παράστασης.

$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Let’s Practise

Άσκηση 1

Να βρείτε τα αναπτύγματα:

1. $(\alpha + 5)^2$

2. $(3x + 2)^2$

3. $(7 + 2x)^2$

4. $(4x + 5y)^2$

5. $(6\alpha + 4\beta)^2$

6. $(\alpha^3 + 4)^2$

7. $(y^2 + 5z)^2$

8. $(\sqrt{x} + \sqrt{3})^2$

9. $(\sqrt{5} + 3x)^2$

10. $(x^2 + \sqrt{y})^2$

13. $(5x + \sqrt{2}y)^2$

11. $(2\alpha^3 + \sqrt{2})^2$

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης