1.2 Αριθμητικές και Αλγεβρικές Παραστάσεις

Παράδειγμα 1

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με διαστάσεις 4 cm και 6 cm.

Rendered by QuickLaTeX.com

Ο τύπος για το εμβαδόν είναι:

Εμβαδόν = μήκος $\times$ πλάτος

Για να βρούμε το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου θα αντικαταστήσουμε τις διαστάσεις και θα πρέπει να υπολογίσουμε την παράσταση

$4 \cdot 6$

Καταλήξαμε σε μια έκφραση που περιέχει μόνο αριθμούς και για αυτό ονομάζεται αριθμητική παράσταση.

Τελικά, βρίσκουμε ότι Εμβαδόν = $24cm^2$

Παράδειγμα 2

Ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα όπου το μήκος ενός ορθογωνίου είναι x και το πλάτος του είναι x+y.

Rendered by QuickLaTeX.com

Ο τύπος για το εμβαδόν παραμένει ο ίδιος:

Εμβαδόν = μήκος $\times$ πλάτος

$x \cdot (x+y)=x \cdot 2+x \cdot y =x^2+x \cdot y$

Καταλήξαμε σε μια έκφραση η οποία, εκτός από αριθμούς, περιέχει και μεταβλητές. Μια τέτοια έκφραση λέγεται αλγεβρική παράσταση.

Τελικά, βρίσκουμε ότι Εμβαδόν = $(x^2+xy)cm^2$

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, θα προκύψει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της αλγεβρικής παράστασης.

Για παράδειγμα, η αριθμητική τιμή της αλβεγρικής παράστασης $x^2+xy$ για $x=2$ και $y=5$ είναι:

$x^2+xy=2^2+2\cdot 5=4+10=14$

Μια ειδική κατηγορία αλγεβρικών παραστάσεων είναι οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις. Είναι εκφράσεις στις οποίες μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

Για παράδειγμα,

η έκφραση $3x^2 + 5x - 7$ είναι ακέραια γιατί οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί (ο εκθέτης του x^2 είναι 2) και οι πράξεις είναι μόνο πολλαπλασιασμός και πρόσθεση/αφαίρεση
η έκφραση $4x^3y + 2xy - 9$ είναι ακέραια γιατί οι εκθέτες των μεταβλητών x και y είναι φυσικοί αριθμοί (3 και 1), και οι πράξεις είναι πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.
η έκφραση $\dfrac{2x}{y} + 3$ είναι μη ακέραια γιατί η παράσταση περιέχει διαίρεση.
η έκφραση $x^{-2} + 5x$ είναι μη ακέραια γιατί ο εκθέτης -2 του x είναι αρνητικός.

Let’s Practise

Άσκηση 1. Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι ακέραιες.

1. $3x^2y^3 +xy$
2. $\dfrac{5}{x^2}$
3. $-2x^4y$
4. $x^{-3}y^2$
5. $4x^2 + \dfrac{1}{y}$
6. $\dfrac{7x^2y}{2}$
7. $x^2 + y^2 - 4xy + 6$
8. $2x^3y^4$
9. $7x^3y^2 - 5x^2y + 3$
10. $x + \dfrac{1}{y}- z^2$

Άσκηση 2. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση $3x^2 - 5xy + 2y^2$ .

α. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης για x = 2 και y = -1 .

β. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης για x = -3 και y = 4 .

γ. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης για x = 0 και y = 5 .

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Let’s Practise

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης