Η έννοια του γραμμικού συστήματος

Δίνεται ο σύστημα 

Να βρείτε ποιο από τα παρακάτω ζεύγη είναι λύση του συστήματος:

α) (-3, 2)      β) (6, 1)       γ) (2, -3)

Θα πρέπει το ζεύγος των αριθμών (α, β) να επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

α) Για το ζεύγος (-3, 2) 

• Για και η πρώτη εξίσωση γράφεται ή Ψευδής.

Άρα το ζεύγος (-3, 2)  δεν είναι λύση του συστήματος.

β) Για το ζεύγος (6, 1) 

• Για και η πρώτη εξίσωση γράφεται ή Αληθής.
• Για και η δεύτερη εξίσωση γράφεται ή Ψευδής

Άρα το ζεύγος (6, 1)  δεν είναι λύση του συστήματος.

γ)  Για το ζεύγος (2, -3)

• Για και η πρώτη εξίσωση γράφεται ή Αληθής.
• Για και η δεύτερη εξίσωση γράφεται ή Αληθής.

Άρα το ζεύγος (2, -3)  είναι λύση του συστήματος.

Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x, y, τις

και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (x, y) που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y.

Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x, y επιλύεται γραφικά αλλά και αλγεβρικά.

Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y δίνει λύσεις που μπορεί να είναι προσεγγιστικές. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση  διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής.

Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί:

• να τέμνονται: το σύστημα έχει μοναδική λύση ή
• να είναι παράλληλες: το σύστημα είναι αδύνατο ή
• να συμπίπτουν (ταυτίζονται): το σύστημα είναι αόριστο (έχει άπειρες λύσεις)