Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους (Αδύνατο σύστημα)

Math How-To Guide

Να επιλυθεί γραφικά το σύστημα

$\textcolor{blue}{(\Sigma):\left\{\begin{array}{c} 2x-3y=6\\4x-6y=-24\end{array}\right.}$

Θα πρέπει να σχεδιάσουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες $\epsilon_1: 2x-3y=6$ και $\epsilon_2: 4x-6y=-24$

Ευθεία $\epsilon_1$ : Για να τη σχεδιάσουμε θα πρέπει να προσδιορίσουμε δύο σημεία της.

Για $x = 0$ έχουμε $2x-3y=6$ ή $2\cdot 0-3y=6$ ή $-3y=6$ ή $y = -2$ , άρα η ευθεία $\epsilon_1$ διέρχεται από το σημείο Α(0, -2).
Για $x = 3$ έχουμε $2x-3y=6$ ή $2\cdot 3-3y=6$ ή $6-3y=6$ ή $-3y = 6-6$ ή $-3y = 0$ ή $y = 0$ , άρα η ευθεία $\epsilon_1$ διέρχεται από το σημείο Β(3, 0).

Ευθεία $\epsilon_2$ : Για να τη σχεδιάσουμε θα πρέπει να προσδιορίσουμε δύο σημεία της.

Για $x = -6$ έχουμε $4x-6y=-24$ ή $4\cdot (-6)- 6y=-24$ ή $-24-6 y=-24$ ή $y=-24+24$ $y = 0$ , άρα η ευθεία $\epsilon_2$ διέρχεται από το σημείο Γ(-6, 0).
Για $x = 0$ έχουμε $4x-6y=-24$ ή $4\cdot 0- 6y=-24$ ή $0-6 y=-24$ ή $-6y=-24$ $y = 4$ , άρα η ευθεία $\epsilon_2$ διέρχεται από το σημείο D(0, 4).

Παρατηρούμε ότι οι ευθείες $\epsilon_1, \epsilon_2$ είναι παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημα δεν έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο.

Rendered by QuickLaTeX.com

Έστω δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x, y, τις

$\left\{\begin{array}{l}\alpha_1 x+\beta_1 y=\gamma_1 \\ \alpha_2 x+\beta_2 y=\gamma_2\end{array}\right.$

και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (α, β) που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων.

Για τη γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εργαζόμαστε ως εξής:

Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες $\epsilon_1: \alpha_1 x+\beta_1 y=\gamma_1$ και $\epsilon_2: \alpha_2 x+\beta_2 y=\gamma_2$ των εξισώσεων του συστήματος.
Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, αυτό σημαίνει ότι δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημα δεν έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο.