Aπόλυτη τιμή του αθροίσματος δυο αριθμών (απόδειξη)

Απόδειξη 3. Nα αποδείξετε ότι για κάθε $\textcolor{blue}{ \alpha, \beta \in R}$ ισχύει

$\textcolor{blue}{|\alpha+\beta| \leq|\alpha|+|\beta| }$

Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας $|\gra+\grb|, |\gra|+|\grb|$ είναι θετικοί αριθμοί έχουμε:

$\begin{align*} |\gra+\grb|&\leq|\gra|+|\grb| \Leftrightarrow\\ |\gra+\grb|^2&\leq\left(|\gra|+|\grb|\right)^2 \Leftrightarrow\\ \left(\gra+\grb\right)^2&\leq|\gra|^2+2\cdot|\gra|\cdot|\grb|+|\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \gra^2+2\cdot\gra\cdot\grb+\grb^2 &\leq|\gra|^2+2\cdot|\gra|\cdot|\grb|+|\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \gra\cdot\grb &\leq|\gra|\cdot|\grb| \end{align*}$

που ισχύει.

Παρατήρηση

Είναι φανερό ότι η ισότητα

$\gra\cdot\grb = |\gra\cdot\grb|$

ισχύει αν και μόνο αν $\gra\cdot\grb \geq 0,$ δηλαδή αν και μόνο αν

οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή
ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν.

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης