Νιοστή ρίζα του γινόμενου δύο αριθμών (απόδειξη)

Posted on

Απόδειξη 4. Nα αποδείξετε ότι για κάθε $\textcolor{blue}{\alpha, \beta \in R }$ με $\textcolor{blue}{ \alpha, \beta \geq 0}$ , ισχύει

$\textcolor{blue}{\sqrt[v]{\alpha} \cdot \sqrt[v]{\beta}=\sqrt[v]{\alpha \cdot \beta}}$

Έστω $\alpha, \beta \in R$ με $\alpha, \beta \geq 0$ .

$\begin{align*} \sqrt[v]{\gra}\cdot\sqrt[v]{\grb}&=\sqrt[v]{\gra\cdot\grb} \Leftrightarrow\\ \left(\sqrt[v]{\gra}\cdot\sqrt[v]{\grb}\right)^v&=\left(\sqrt[v]{\gra\cdot\grb}\right)^v \Leftrightarrow\\ \left(\sqrt[v]{\gra}\right)^v \cdot \left(\sqrt[v]{\grb}\right)^v&=\gra\cdot\grb \Leftrightarrow\\ \gra\cdot \grb&=\gra\cdot\grb \end{align*}$

που ισχύει.

Παρατήρηση

Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για περισσότερους από δυο μη αρνητικούς παράγοντες.

Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς αριθμούς $\gra_1, \gra_2, ... , \gra_{\grk}$ ισχύει:

$\sqrt[v]{\gra_1}\cdot\sqrt[v]{\gra_2}\cdot \dots \dots \cdot \sqrt[v]{\gra_{\grk}}=\sqrt[v]{\gra_1\cdot \gra_2\cdot \dots \dots \cdot \gra_{\grk}}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης