Αποκωδικοποιώντας τον Κόσμο των Γραμμικών Εξισώσεων

Σημειώσεις Θεωρίας

Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους x, y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
$\alpha x + \beta y = \gamma.$

Οι μεταβλητές $x, y$ είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής.
Οι αριθμοί $\alpha, \beta$ λέγονται συντελεστές των αγνώστων της εξίσωσης ενώ το $\gamma$ λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης.
Λύση μιας εξίσωσης $\alpha x + \beta y = \gamma$ ονομάζεται κάθε διατεταγμένο* ζεύγος αριθμών $(x, y)$ που την επαληθεύει.

1η περίπτωση: Αν οι συντελεστές α και β δεν μηδενίζονται συγχρόνως δηλαδή αν $\alpha \neq 0$ ή $\beta \neq 0$ , τότε για τη γραμμική εξίσωση

$\alpha x + \beta y = \gamma$ με $\alpha \neq 0$ ή $\beta \neq 0$

ισχύουν τα εξής:

Η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.
Mπορούμε για οποιαδήποτε τυχαία τιμή του x μπορούμε να προσδιορίσουμε την αντίστοιχη τιμή του y, ώστε το ζεύγος (x, y) να είναι λύση της και έτσι να σχηματίσουμε έναν πίνακα τιμών.
Αν σ´ ένα σύστημα αξόνων προσδιορίσουμε τα σημεία που καθένα έχει συντεταγμένες μια λύση της εξίσωσης, θα διαπιστώσουμε ότι αυτά βρίσκονται σε μια ευθεία ε. Δηλαδή, η γραφική παράσταση είναι ευθεία.

Επιπλέον, έχουμε την εξής συσχέτιση αλγεβρικής και γεωμετρικής ερμηνείας μιας γραμμικής εξίσωσης στο επίπεδο.

Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.

2η περίπτωση: Αν οι συντελεστές α και β μηδενίζονται συγχρόνως δηλαδή αν $\alpha =0$ και $\beta = 0$ , τότε η γραμμική εξίσωση γίονεται

$0\cdot x + 0\cdot y = \gamma$

και δεν παριστάνει ευθεία.

*Διατεταγμένο ζεύγος είναι δύο στοιχεία που έχουν αυστηρά καθορισμένη σειρά ή διάταξη. Παράδειγμα διατεταγμένου ζεύγους είναι οι συντεταγμένες (x, y) σε έναν δισδιάστατο χώρο, όπου η τιμή του “x” αναπαριστά τη θέση σε σχέση με τον άξονα x και η τιμή του “y” αναπαριστά τη θέση σε σχέση με τον άξονα y.

Let’s practice

Αν προσθέσουμε το τετραπλάσιο ενός αριθμού $x$ με το διπλάσιο ενός αριθμού $y$ το αποτέλεσμα είναι 20.

α) Να βρείτε ποια σχέση συνδέει τους αριθμούς $x$ και $y$

β) Ποια από τα ζεύγη $(1,7), (0,10), (2,6), (3,5) (5,0)$ επαληθεύουν την παραπάνω σχέση;

γ) Σε ένα σύστημα αξόνων να παραστήσετε με σημεία όσα από τα προηγούμενα ζεύγη επαληθεύουν τη σχέση. Με τη βοήθεια ενός χάρακα να εξετάσετε αν όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία . Τι παρατηρείτε;

Αποτύπωση λύσεων (x,y) γραμμικής εξίσωσης (Geogebra)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Σημειώσεις Θεωρίας

Let’s practice

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης