1.6 Παραγοντοποίηση – Διαφορά τετραγώνων

Να υπολογίσουμε την παράσταση: $97^2 - 3^2$

Έχουμε: $97^2 - 3^2 = 9409 - 9 = 9400$

Μπορούμε, όμως, να χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό. Η παράσταση 97^2 – 3^2 γράφεται ως εξής:

$97^2 - 3^2 = (97 + 3)(97 - 3)=100\cdot 94 =9400$

Δηλαδή, με τη χρήση της παραγοντοποίησης με τη χρήση της ταυτότητας, αποφεύγουμε την άμεση ύψωση στο τετράγωνο και πραγματοποιούμε πιο απλούς υπολογισμούς.

Θεωρία

Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων έχει τη μορφή:

$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)$

Αυτή η ταυτότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων.

Πώς εφαρμόζεται:

1. Ελέγχουμε αν η παράσταση έχει τη μορφή $\alpha^2 - \beta^2$ , δηλαδή διαφορά δύο τετραγώνων.

2. Εντοπίζουμε τους όρους $\alpha$ και $\beta$ , δηλαδή τις βάσεις των τετραγώνων.

3. Γράφουμε την παράσταση ως γινόμενο:

$\alpha^2 - \beta^2=(\alpha + \beta)(\alpha - \beta)$

Παράδειγμα 1

Παραγοντοποιήστε την παράσταση: $x^2 - 16$

Αναγνωρίζουμε ότι $x^2$ είναι το τετράγωνο του $x$ και $16 = 4^2$ .

Έχουμε:

$x^2 - 16 = x^2-4^2= (x + 4)(x - 4)$

Παράδειγμα 2

Παραγοντοποιήστε την παράσταση: $4x^2 - 25$

1. Αναγνωρίζουμε ότι $4x^2 = (2x)^2$ και $25 = 5^2$ .

2. Εφαρμόζουμε την ταυτότητα:

$4x^2 - 25 = (2x)^2-5^2=(2x + 5)(2x - 5)$

Παράδειγμα 3

Παραγοντοποιήστε την παράσταση $x^4 - 81y^4$

Η έκφραση $x^4 - 81y^4$ είναι διαφορά δύο τετραγώνων, αφού:

$x^4 = (x^2)^2$ και $81y^4 = (9y^2)^2$

Έχουμε:

$x^4 - 81y^4 =(x^2)^2 - (9y^2)^2=(x^2 + 9y^2)(x^2 - 9y^2)$

Η παράσταση $x^2 - 9y^2$ στην δεύτερη παρένθεση είναι και αυτή διαφορά τετραγώνων, αφού:

$x^2 = x^2$ και $9y^2 = (3y)^2$

Έχουμε

$x^4 - 81y^4 = (x^2 + 9y^2)(x + 3y)(x - 3y)$

Παράδειγμα 4

Παραγοντοποιήστε την παράσταση $4(x+1)^2 - 9(x-2)^2$

Η παράσταση που δίνεται είναι διαφορά τετραγώνων αφού

$4(x+1)^2 = \left(2(x+1)\right)^2$ και $9(x-2)^2= \left(3(x-2)\right)^2$

Έχουμε

$\begin{align*} 4(x+1)^2 - 9(x-2)^2 &= [2(x+1) + 3(x-2)] \cdot [2(x+1) - 3(x-2)] \\ &= \left( 2x + 2 + 3x - 6 \right) \cdot \left( 2x + 2 - 3x + 6 \right) \\ &= (5x - 4) \cdot (-x + 8) \end{align*}$

Let’s Practise

Άσκηση 1

Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

Άσκηση 2

Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

Άσκηση 3

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Άσκηση 4

Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

α) $x^2 - 4$	στ) $x^2y^2 - 25$
β) $1 - 36\beta^2$	ζ) $4x^2 - 9y^2$
γ) $4x^2 - 1$	η) $25\alpha^4 - \beta^2$
δ) $9\alpha^2 - 16\beta^2$	θ) $8 - x^2$
ε) $16m^2 - 9n^2$	ι) $x^2y^2 - 2$

α) $16x^2y^2 - 1$	στ) $(x + 2)^2 - 9$
β) $x^4 - 16$	ζ) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2$
γ) $x^8 - y^8$	η) $(x + y)^2 - (x - y)^2$
δ) $x^6 - 64$	θ) $(2\alpha - 3\beta)^2 - (\alpha + \beta)^2$
ε) $16x^4 - 81y^4$	ι) $16(\alpha + 2\beta)^2 - 9(\alpha - \beta)^2$

α) $4x^3 - 16x$	στ) $36x^3y^4 - 144x^3y^2$
β) $25x^5y - 100xy$	ζ) $81\beta^5x^2 - 324\beta^3x^2$
γ) $9\alpha^3 - 36\alpha$	η) $100\alpha^4y^3 - 400\alpha^2y^3$
δ) $16x^3y^2 - 64xy^2$	θ) $49\alpha^5\beta^3 - 196\alpha^3\beta^3$
ε) $8x^3 - 32x$	ι) $12\alpha^5\beta^2 - 48\alpha^3\beta^2$

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης