1.3 Πολυώνυμα – Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων.

Posted on

Μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Αυτή η διαδικασία λέγεται αναγωγή των όμοιων όρων.

Av $A(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4$ , $B(x) = -3x^3 + 5x - 2$ και $\Gamma(x) = 4x^2 - 3x + 8$ , να βρείτε τα πολυώνυμα:

α) $A(x) - B(x)$

β) $A(x) + \Gamma(x)$

γ) $\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right]$

α) Για το α’ ερώτημα έχουμε:

Βήμα 1: Αντικατάσταση των πολυωνύμων.

$A(x) - B(x) = \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) - \left( -3x^3 + 5x - 2 \right)$

Βήμα 2: Απαλοιφή παρενθέσεων

$A(x) - B(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4 + 3x^3 - 5x + 2$

Βήμα 3: Αναγωγή όμοιων όρων

$A(x) - B(x) = (2x^3 + 3x^3) + (-x^2) + (x - 5x) + (-4 + 2)$

$A(x) - B(x) = 5x^3 - x^2 - 4x - 2$

Άρα, το αποτέλεσμα είναι: $A(x) - B(x) = 5x^3 - x^2 - 4x - 2$

β) Για το β’ ερώτημα έχουμε:

Βήμα 1: Αντικατάσταση των πολυωνύμων.

$A(x) + \Gamma(x) = \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) + \left( 4x^2 - 3x + 8 \right)$

Βήμα 2: Απαλοιφή παρενθέσεων.

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4 + 4x^2 - 3x + 8$

Βήμα 3: Αναγωγή όμοιων όρων.

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 + (-x^2 + 4x^2) + (x - 3x) + (-4 + 8)$

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x + 4$

Άρα, το αποτέλεσμα είναι:

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x + 4.$

γ) Για το γ’ ερώτημα έχουμε:

Βήμα 1: Αντικατάσταση των πολυωνύμων.
$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = \left( 4x^2 - 3x + 8 \right) - \left( \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) + \left( -3x^3 + 5x - 2 \right) \right)$
Βήμα 2: Ας βρούμε πρώτα το A(x) + B(x) .
$A(x) + B(x) = \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) + \left( -3x^3 + 5x - 2 \right)$
- Απαλοιφή παρενθέσεων:
  $A(x) + B(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4 - 3x^3 + 5x - 2$
- Αναγωγή όμοιων όρων:
  $A(x) + B(x) = (2x^3 - 3x^3) + (-x^2) + (x + 5x) + (-4 - 2)$
  
  $A(x) + B(x) = -x^3 - x^2 + 6x - 6$
Βήμα 3: Αντικατάσταση στο αρχικό.
$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = \left( 4x^2 - 3x + 8 \right) - \left( -x^3 - x^2 + 6x - 6 \right)$
Βήμα 4: Απαλοιφή παρενθέσεων.
$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = 4x^2 - 3x + 8 + x^3 + x^2 - 6x + 6$
Βήμα 5: Αναγωγή όμοιων όρων

$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = x^3 + (4x^2 + x^2) + (-3x - 6x) + (8 + 6)$

$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = x^3 + 5x^2 - 9x + 14$

Άρα, το αποτέλεσμα είναι:

$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = x^3 + 5x^2 - 9x + 14.$

Άσκηση 1

Δίνεται το πολυώνυμο:

$P(x) = (6x^2 - 2x + 1) + (-4x^2 + 3x - 5) - (x^2 - x + 2)$

και το πολυώνυμο

$Q(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$

Να βρείτε τις τιμές των $\alpha, \beta, \gamma$ ώστε τα πολυώνυμα $P(x)$ και $Q(x)$ να είναι ίσα.

Άσκηση 2

Δίνεται το πολυώνυμο:

$P(x) = (3x^2 + x - 4) - (2x^2 - 3x + 1) + (5x^2 + 2x)$

και το πολυώνυμο

$Q(x) = (\alpha-2) x^2 + 2\beta x + \gamma.$

Να βρείτε τις τιμές των $\alpha, \beta, \gamma$ ώστε τα πολυώνυμα $P(x)$ και $Q(x)$ να είναι ίσα.

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.5 Τετράγωνο αθροίσματος

Posted on

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες Υπάρχουν πολλές ταυτότητες στα μαθηματικά, αλλά ορισμένες εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να τις απομνημονεύσουμε. Αυτές τις αποκαλούμε αξιοσημείωτες ταυτότητες. Μία από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι το τετράγωνο αθροίσματος. Βιβλιογραφία: Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Δημήτριος Αργυράκης , Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου,…

1.3 Πολυώνυμα – Αριθμητική τιμή πολυώνυμου

Posted on

Η αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου με μία ή περισσότερες μεταβλητές είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές του πολυωνύμου με συγκεκριμένους αριθμούς και υπολογίσουμε την τιμή της παραγόμενης αριθμητικής έκφρασης. Για παράδειγμα, για και , η αριθμητική τιμή του είναι: Άσκηση 1 Υπολογίστε την αριθμητική τιμή…

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

Posted on

Ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στην επιμεριστική ιδιότητα, η οποία είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο της άλγεβρας. Η επιμεριστική ιδιότητα μας λέει ότι για οποιαδήποτε στοιχεία , , και , ισχύει η σχέση: Αυτή η ιδιότητα εφαρμόζεται στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων. Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο πολυώνυμα, εφαρμόζουμε την…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης