1.3 Πολυώνυμα – Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων.

Posted on

Μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Αυτή η διαδικασία λέγεται αναγωγή των όμοιων όρων.

Av $A(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4$ , $B(x) = -3x^3 + 5x - 2$ και $\Gamma(x) = 4x^2 - 3x + 8$ , να βρείτε τα πολυώνυμα:

α) $A(x) - B(x)$

β) $A(x) + \Gamma(x)$

γ) $\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right]$

α) Για το α’ ερώτημα έχουμε:

Βήμα 1: Αντικατάσταση των πολυωνύμων.

$A(x) - B(x) = \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) - \left( -3x^3 + 5x - 2 \right)$

Βήμα 2: Απαλοιφή παρενθέσεων

$A(x) - B(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4 + 3x^3 - 5x + 2$

Βήμα 3: Αναγωγή όμοιων όρων

$A(x) - B(x) = (2x^3 + 3x^3) + (-x^2) + (x - 5x) + (-4 + 2)$

$A(x) - B(x) = 5x^3 - x^2 - 4x - 2$

Άρα, το αποτέλεσμα είναι: $A(x) - B(x) = 5x^3 - x^2 - 4x - 2$

β) Για το β’ ερώτημα έχουμε:

Βήμα 1: Αντικατάσταση των πολυωνύμων.

$A(x) + \Gamma(x) = \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) + \left( 4x^2 - 3x + 8 \right)$

Βήμα 2: Απαλοιφή παρενθέσεων.

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4 + 4x^2 - 3x + 8$

Βήμα 3: Αναγωγή όμοιων όρων.

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 + (-x^2 + 4x^2) + (x - 3x) + (-4 + 8)$

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x + 4$

Άρα, το αποτέλεσμα είναι:

$A(x) + \Gamma(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x + 4.$

γ) Για το γ’ ερώτημα έχουμε:

Βήμα 1: Αντικατάσταση των πολυωνύμων.
$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = \left( 4x^2 - 3x + 8 \right) - \left( \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) + \left( -3x^3 + 5x - 2 \right) \right)$
Βήμα 2: Ας βρούμε πρώτα το A(x) + B(x) .
$A(x) + B(x) = \left( 2x^3 - x^2 + x - 4 \right) + \left( -3x^3 + 5x - 2 \right)$
- Απαλοιφή παρενθέσεων:
  $A(x) + B(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4 - 3x^3 + 5x - 2$
- Αναγωγή όμοιων όρων:
  $A(x) + B(x) = (2x^3 - 3x^3) + (-x^2) + (x + 5x) + (-4 - 2)$
  
  $A(x) + B(x) = -x^3 - x^2 + 6x - 6$
Βήμα 3: Αντικατάσταση στο αρχικό.
$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = \left( 4x^2 - 3x + 8 \right) - \left( -x^3 - x^2 + 6x - 6 \right)$
Βήμα 4: Απαλοιφή παρενθέσεων.
$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = 4x^2 - 3x + 8 + x^3 + x^2 - 6x + 6$
Βήμα 5: Αναγωγή όμοιων όρων

$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = x^3 + (4x^2 + x^2) + (-3x - 6x) + (8 + 6)$

$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = x^3 + 5x^2 - 9x + 14$

Άρα, το αποτέλεσμα είναι:

$\Gamma(x) - \left[A(x) + B(x)\right] = x^3 + 5x^2 - 9x + 14.$

Άσκηση 1

Δίνεται το πολυώνυμο:

$P(x) = (6x^2 - 2x + 1) + (-4x^2 + 3x - 5) - (x^2 - x + 2)$

και το πολυώνυμο

$Q(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$

Να βρείτε τις τιμές των $\alpha, \beta, \gamma$ ώστε τα πολυώνυμα $P(x)$ και $Q(x)$ να είναι ίσα.

Άσκηση 2

Δίνεται το πολυώνυμο:

$P(x) = (3x^2 + x - 4) - (2x^2 - 3x + 1) + (5x^2 + 2x)$

και το πολυώνυμο

$Q(x) = (\alpha-2) x^2 + 2\beta x + \gamma.$

Να βρείτε τις τιμές των $\alpha, \beta, \gamma$ ώστε τα πολυώνυμα $P(x)$ και $Q(x)$ να είναι ίσα.

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης