1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων - Αποδεικτικές ασκήσεις

Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι το πολυώνυμο $P(x) = (x^2 - 1)(x + 3) - (x^2 - 1)$ είναι ίσο με το πολυώνυμο $Q(x) = (x^2 - 1)(x + 2).$

Στις αποδεικτικές ασκήσεις με πολυώνυμα, συχνά καλούμαστε να αποδείξουμε ότι δύο πολυώνυμα είναι ίσα ή ότι μια πολυωνυμική έκφραση μπορεί να γραφεί σε διαφορετική μορφή. Αυτό προϋποθέτει εκτέλεση πράξεων όπως ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων, αφαίρεση ή πρόσθεση όρων για να φτάσουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα.

Ξεκινάμε συνήθως από το πρώτο μέλος της ισότητας και επιχειρούμε να το απλοποιήσουμε ή να το μετασχηματίσουμε έτσι ώστε να καταλήξουμε στο δεύτερο μέλος. Εάν οι προσπάθειες να φτάσουμε στο δεύτερο μέλος δεν είναι επιτυχείς, τότε μπορούμε να εκτελέσουμε πράξεις και στο δεύτερο μέλος, προσπαθώντας να καταλήξουμε σε κάποια κοινή μορφή ή αποτέλεσμα που αποδεικνύει την ισότητα των δύο μελών.

Στο παραπάνω παράδειγμα θέλουμε να δείξουμε ότι $P(x)=Q(x)$

Βήμα 1ο: Εκτέλεση Πράξεων Πολυωνύμων

Θα εκτελέσουμε τις πράξεις στο πρώτο μέλος.

$\begin{align*} P(x) &= (x^2 - 1)(x + 3) - (x^2 - 1) \\ &= (x^3 + 3x^2 - x - 3) - (x^2 - 1) \\ &= x^3 + 3x^2 - x - 3 - x^2 + 1 \\ &= x^3 + 2x^2 - x - 2 \end{align*}$