1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων – Αποδεικτικές ασκήσεις

Posted on

Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι το πολυώνυμο $P(x) = (x^2 - 1)(x + 3) - (x^2 - 1)$ είναι ίσο με το πολυώνυμο $Q(x) = (x^2 - 1)(x + 2).$

Στις αποδεικτικές ασκήσεις με πολυώνυμα, συχνά καλούμαστε να αποδείξουμε ότι δύο πολυώνυμα είναι ίσα ή ότι μια πολυωνυμική έκφραση μπορεί να γραφεί σε διαφορετική μορφή. Αυτό προϋποθέτει εκτέλεση πράξεων όπως ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων, αφαίρεση ή πρόσθεση όρων για να φτάσουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα.

Ξεκινάμε συνήθως από το πρώτο μέλος της ισότητας και επιχειρούμε να το απλοποιήσουμε ή να το μετασχηματίσουμε έτσι ώστε να καταλήξουμε στο δεύτερο μέλος. Εάν οι προσπάθειες να φτάσουμε στο δεύτερο μέλος δεν είναι επιτυχείς, τότε μπορούμε να εκτελέσουμε πράξεις και στο δεύτερο μέλος, προσπαθώντας να καταλήξουμε σε κάποια κοινή μορφή ή αποτέλεσμα που αποδεικνύει την ισότητα των δύο μελών.

Στο παραπάνω παράδειγμα θέλουμε να δείξουμε ότι $P(x)=Q(x)$

Βήμα 1ο: Εκτέλεση Πράξεων Πολυωνύμων

Θα εκτελέσουμε τις πράξεις στο πρώτο μέλος.

$\begin{align*} P(x) &= (x^2 - 1)(x + 3) - (x^2 - 1) \\ &= (x^3 + 3x^2 - x - 3) - (x^2 - 1) \\ &= x^3 + 3x^2 - x - 3 - x^2 + 1 \\ &= x^3 + 2x^2 - x - 2 \end{align*}$

Αφού δεν καταφέραμε να φτάσουμε στο Q(x), τότε θα εκτελέσουμε πράξεις και στο δεύτερο μέλος.

Για το Q(x) έχουμε:

$Q(x) = (x^2 - 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - x - 2$

Βήμα 2ο: Σύγκριση Πολυωνύμων

Παρατηρούμε ότι το $P(x)$ και το $Q(x)$ είναι ίσα με το πολυώνυμο

$x^3 + 2x^2 - x - 2$

επομένως και μεταξύ τους ίσα, δηλαδή αποδείξαμε την ισότητα.

Άσκηση 1

Να αποδείξετε ότι:

α. $(x - 1)(x + 1) + x(x - 2)+2(x+1) = 2x^2 +1$

β. $(x - 3)(x + 4) - (x^2 - 9) = x -3$

γ. $(x^2 + 3x)(x - 4) - (x^2 - x) =x^2(x-1)-x(x+11)$

δ. $x^2(x-2)-(x-1)(x+3)=-x(2-x^2)-3(x-1)(x+1)$

Α1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Μονώνυμα

Posted on

Σημειώσεις Θεωρίας Ένα μονώνυμο είναι μια ακέραια αλγεβρική παράσταση, επομένως οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί, όπου μεταξύ του αριθμητικού παράγοντα και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού. Συντελεστής και κύριο μέρος Στη βασική του μορφή, αποτελείται από έναν αριθμητικό παράγοντα, που ονομάζεται συντελεστής, και ένα…

1.5 Τετράγωνο διαφοράς

Posted on

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 1.5 Ταυτότητες Η επόμενη αξιοσημείωτη ταυτότητα που θα δούμε είναι το τετράγωνο διαφοράς. Άσκηση 1 Να βρείτε τα αναπτύγματα: $(\beta – 2)^2$ $(2x -5)^2$ $(3- 2y)^2$ $(5x -2y)^2$ $(3\alpha – 2\beta)^2$ $(\alpha^2 -2)^2$ $(y^2 – x^3)^2$ $(\sqrt{2x} – \sqrt{2})^2$ $(\sqrt{3} – x)^2$ $(2x^2 – \sqrt{x})^2$ \((\alpha^2 –…

1.3 Πολυώνυμα – Αριθμητική τιμή πολυώνυμου

Posted on

Η αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου με μία ή περισσότερες μεταβλητές είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές του πολυωνύμου με συγκεκριμένους αριθμούς και υπολογίσουμε την τιμή της παραγόμενης αριθμητικής έκφρασης. Για παράδειγμα, για και , η αριθμητική τιμή του είναι: Άσκηση 1 Υπολογίστε την αριθμητική τιμή…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης