Θεώρημα 18. Έστω συνάρτηση 
συνεχής σε διάστημα 
Αν 
σε κάθε εσωτερικό σημείο 
του 
τότε η 
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Έστω 
με 
. Θα δείξουμε ότι 
.
Πράγματι, η 
είναι συνεχής στο ![[x_1,x_2]\subseteq\Delta](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3dcaf1468e85be1f46cf25a372146eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και παραγωγίσιμη στο 
Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Άρα υπάρχει 
τέτοιο ώστε
![\[f'(\xi)=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a78782886cb5ea45628f12f3de855aca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ισοδύναμα,
![\[f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1).\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d199c2d45c79ccda27d711cfa03b7b82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επειδή 
και 
προκύπτει ότι
![\[f(x_2)-f(x_1)>0.\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2203572dda3fa6be501bd6610d37c76_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Άρα
![\[f(x_1)<f(x_2).\]](https://gbelentzas.sites.sch.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7fb8093eb96029e7d3554240ee6c4d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο 
□