Θεώρημα αρχικής συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής $\textcolor{blue}{ \mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}}$ είναι παράγουσες της f στο Δ.
κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή $\textcolor{blue}{\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R} }$ .

(ΗΜ. 2010, ΗΜ. 2022)

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και F είναι μια παράγουσα της f στο Δ.

Κάθε συνάρτηση της μορφής

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}$

είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού

$\mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{x})=(\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c})^{\prime}=\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ για κάθε $x \in \Delta$

Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε $x \in \Delta$ ισχύουν $F^{\prime}(x)=f(x)$ και $G'(x) = f(x),$ οπότε

$G'(x) = F'(x),$ για κάθε $x \in \Delta$

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε

$G(x)=F(x)+c$ για κάθε $x \in \Delta$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και . Έστω μια συνάρτηση επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της. Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις και των και στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα). Έστω τυχαίο σημείο της γραφικής…

Παράγωγος της α^x (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 14. Έστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Πράγματι, αν και θέσουμε τότε έχουμε Επομένως,

Θεώρημα τοπικών ακροτήτων – τοπικό μέγιστο (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 19. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν στο και στο τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της . (ΗΜ. 2012, ΗΜ, 2019) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης