Θεώρημα αρχικής συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής $\textcolor{blue}{ \mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}}$ είναι παράγουσες της f στο Δ.
κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή $\textcolor{blue}{\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R} }$ .

(ΗΜ. 2010, ΗΜ. 2022)

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και F είναι μια παράγουσα της f στο Δ.

Κάθε συνάρτηση της μορφής

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}$

είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού

$\mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{x})=(\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c})^{\prime}=\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ για κάθε $x \in \Delta$

Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε $x \in \Delta$ ισχύουν $F^{\prime}(x)=f(x)$ και $G'(x) = f(x),$ οπότε

$G'(x) = F'(x),$ για κάθε $x \in \Delta$

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε

$G(x)=F(x)+c$ για κάθε $x \in \Delta$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με Αφού…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης