Θεώρημα αρχικής συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής $\textcolor{blue}{ \mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}}$ είναι παράγουσες της f στο Δ.
κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή $\textcolor{blue}{\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R} }$ .

(ΗΜ. 2010, ΗΜ. 2022)

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και F είναι μια παράγουσα της f στο Δ.

Κάθε συνάρτηση της μορφής

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}$

είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού

$\mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{x})=(\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c})^{\prime}=\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ για κάθε $x \in \Delta$

Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε $x \in \Delta$ ισχύουν $F^{\prime}(x)=f(x)$ και $G'(x) = f(x),$ οπότε

$G'(x) = F'(x),$ για κάθε $x \in \Delta$

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε

$G(x)=F(x)+c$ για κάθε $x \in \Delta$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (2η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 17. Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι είναι συνεχείς…

Παράγωγος της ln|x| (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 15. Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή (ΗΜ. 2008) Έστω η συνάρτηση Αν τότε Αν τότε οπότε, αν θέσουμε \begin{center} και \end{center} έχουμε y = lnu. Επομένως, Άρα,

Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης