Θεώρημα αρχικής συνάρτησης (απόδειξη)

Θεώρημα 21. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής $\textcolor{blue}{ \mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}}$ είναι παράγουσες της f στο Δ.
κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή $\textcolor{blue}{\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R} }$ .

(ΗΜ. 2010, ΗΜ. 2022)

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και F είναι μια παράγουσα της f στο Δ.

Κάθε συνάρτηση της μορφής

$\mathrm{G}(\mathrm{x})=\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c}, \quad \mathrm{c} \in \mathbf{R}$

είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού

$\mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{x})=(\mathrm{F}(\mathrm{x})+\mathrm{c})^{\prime}=\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ για κάθε $x \in \Delta$