Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 2. Έστω το πολυώνυμο $\textcolor{blue}{ P(x)=\alpha_{\grn}x^{\grn}+\gra_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\gra_{1}x+\gra_0}$ και $\textcolor{blue}{x_0\in\rr. }$

Nα αποδείξετε ότι $\textcolor{blue}{\orio{x}{x_0}{P(x)}=P(x_0) }$

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=\alpha_{\grn}x^{\grn}+\alpha_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\alpha_{1}x+\alpha_0$ και $x_0\in\rr.$

Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων έχουμε:

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{P(x)} &= \orio{x}{x_0}{\left(\alpha_{\grn}x^{\grn}+\alpha_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\alpha_{1}x+\alpha_0\right)}\\ &= \orio{x}{x_0}{\left(\alpha_{\grn}x^{\grn} \right)}+\orio{x}{x_0}{\left( \alpha_{\grn-1}x^{\grn-1}\right)}+\dots+\orio{x}{x_0}{\left( \alpha_{1}x\right)}+\orio{x}{x_0}{\alpha_0 }\\ &=\alpha_{\grn}x_0^{\grn}+ \alpha_{\grn-1}x_0^{\grn-1}+\dots+\alpha_{1}x_0 +\gra_0\\ &= P(x_0) \end{align*}$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν: η f είναι συνεχής στο και τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος ώστε . (ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020) Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση με Αφού…

Θεώρημα Fermat (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι: (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα…

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης