Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\textcolor{blue}{[\alpha,\, \beta]}$ . Αν:

η f είναι συνεχής στο $\textcolor{blue}{ [\alpha,\, \beta]}$ και
$\textcolor{blue}{ f(\alpha) \neq f(\beta)}$

τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των $\textcolor{blue}{ f(\alpha)}$ και $\textcolor{blue}{ f(\beta),}$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον $\textcolor{blue}{ x_{0} \in (\alpha, \beta), }$ τέτοιος ώστε $\textcolor{blue}{ f\left(x_0\right)=\eta}$ .

(ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020)

Έστω η συνεχής στο διάστημα $[\alpha,\, \beta]$ συνάρτηση $f$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$

Αφού $f(\alpha) \neq f(\beta)$ μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέτουμε ότι $f(\alpha) < f(\beta).$

Τότε θα ισχύει $f(\alpha) < \eta < f(\beta)$

Θεωρούμε την συνάρτηση

$g(x) = f(x) - \eta, \, x\in [\alpha, \beta]$

για την οποία παρατηρούμε ότι :

η $g$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\, \beta]$
$\left.\begin{array}{ll} g(\alpha) = f(\alpha) - \eta < 0\\ g(\beta) = f(\beta) - \eta > 0\end{array}\right\}\Rightarrow g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0$

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει $x_{0} \in (\alpha, \beta),$ τέτοιο, ώστε

$g(x_0) = 0 \Rightarrow f(x_0) - \grh = 0 \Rightarrow f(x_0) = \grh.$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα σταθερής συνάρτησης (1η απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 16. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. (ΗΜ. 2009, ΗΜ. 2014) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν…

Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…

Θεώρημα τοπικού ακροτάτου – Γνησίως αύξουσα (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 20. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Aν η διατηρεί πρόσημο στο τότε να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο (ΗΜ. 2017, ΗΜ. 2021) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ’…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης