Θ.Ε.Τ. – Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 3. Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $\textcolor{blue}{[\alpha,\, \beta]}$ . Αν:

η f είναι συνεχής στο $\textcolor{blue}{ [\alpha,\, \beta]}$ και
$\textcolor{blue}{ f(\alpha) \neq f(\beta)}$

τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των $\textcolor{blue}{ f(\alpha)}$ και $\textcolor{blue}{ f(\beta),}$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον $\textcolor{blue}{ x_{0} \in (\alpha, \beta), }$ τέτοιος ώστε $\textcolor{blue}{ f\left(x_0\right)=\eta}$ .

(ΗΜ. 2005, ΗΜ. 2015, ΗΜ. 2020)

Έστω η συνεχής στο διάστημα $[\alpha,\, \beta]$ συνάρτηση $f$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$

Αφού $f(\alpha) \neq f(\beta)$ μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέτουμε ότι $f(\alpha) < f(\beta).$

Τότε θα ισχύει $f(\alpha) < \eta < f(\beta)$

Θεωρούμε την συνάρτηση

$g(x) = f(x) - \eta, \, x\in [\alpha, \beta]$

για την οποία παρατηρούμε ότι :

η $g$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\, \beta]$
$\left.\begin{array}{ll} g(\alpha) = f(\alpha) - \eta < 0\\ g(\beta) = f(\beta) - \eta > 0\end{array}\right\}\Rightarrow g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0$