Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $\textcolor{blue}{y=x}$ που διχοτομεί τις γωνίες $\textcolor{blue}{xOy}$ και $\textcolor{blue}{x'Oy'}$ .

Έστω μια $1-1$ συνάρτηση $f,$ επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της.

Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις $C$ και $Cʹ$ των $f$ και $f^{-1}$ στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα).

Έστω τυχαίο σημείο $M(\alpha, \beta)$ της γραφικής παράστασης C της $f$ . Τότε,

$f(\alpha) = \beta.$

Από τη σχέση

$f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x.$

έχουμε ότι

$f(\alpha) = \beta \Leftrightarrow f^{-1}(\beta) = \alpha.$

που σημαίνει ότι το σημείο $M'(\beta,\alpha)$ θα ανήκει στη γραφική παράσταση C’ της $f^{-1}$ και αντιστρόφως.

Τα σημεία Μ και Μ’, όμως, είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία $y=x$ που διχοτομεί τις γωνίες $xOy$ και $x'Oy'.$

Άρα, οι γραφικές παραστάσεις $C$ και $C'$ των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$ που διχοτομεί τις γωνίες $xOy$ και $x'Oy'.$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Παράγωγος της x^v (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 7.Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή

Μονοτονία και πρόσημο της παραγώγου

Posted on

Θεώρημα 18. Έστω συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Έστω με . Θα δείξουμε ότι . Πράγματι, η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε Ισοδύναμα, Επειδή και προκύπτει ότι…

Παράγωγος ταυτοτικής συνάρτησης

Posted on

Θεώρημα 6. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης