Συμμετρία δύο αντίστροφων συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $\textcolor{blue}{y=x}$ που διχοτομεί τις γωνίες $\textcolor{blue}{xOy}$ και $\textcolor{blue}{x'Oy'}$ .

Έστω μια $1-1$ συνάρτηση $f,$ επομένως θα ορίζεται η αντίστροφη της.

Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις $C$ και $Cʹ$ των $f$ και $f^{-1}$ στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα).

Έστω τυχαίο σημείο $M(\alpha, \beta)$ της γραφικής παράστασης C της $f$ . Τότε,

$f(\alpha) = \beta.$

Από τη σχέση

$f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x.$

έχουμε ότι

$f(\alpha) = \beta \Leftrightarrow f^{-1}(\beta) = \alpha.$

που σημαίνει ότι το σημείο $M'(\beta,\alpha)$ θα ανήκει στη γραφική παράσταση C’ της $f^{-1}$ και αντιστρόφως.

Τα σημεία Μ και Μ’, όμως, είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία $y=x$ που διχοτομεί τις γωνίες $xOy$ και $x'Oy'.$

Άρα, οι γραφικές παραστάσεις $C$ και $C'$ των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$ που διχοτομεί τις γωνίες $xOy$ και $x'Oy'.$

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Θεώρημα Fermat (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 18. (Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι: (ΗΜ. 2004, ΗΜ. 2011) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ένα…

Παράγωγος της εφx (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 12. Εστω η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει δηλαδή Κάνε κλικ εδώ για να δεις την απόδειξη. Πράγματι, για κάθε έχουμε:

Παράγωγος αθροίσματος συναρτήσεων (απόδειξη)

Posted on

Θεώρημα 9. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (ΗΜ. 2023) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο…

Related Posts

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης